Нагадаємо, що автогенератори, або автоколивні системи - це системи, в яких за відсутності зовнішнього періодичного впливу можуть виникати і встановлюватись періодичні коливання. Властивості цих коливань мало залежать від початкових умов і визначаються властивостями самої системи. Автогенератори - це різновид неавтономних (або нерівноважних) нелінійних дисипативних систем. Саме за рахунок неавтономності (нерівноважності) забезпечується надходження енергії, необхідної для підтримання незгасаючих коливань.

Прикладами автогенераторів можуть служити механічні та електронні годинники, автогенератори періодичних коливань в радіотехніці (LC-автогенератори, RC-автогенератори, мультивібратори в автоколивному режимі, блокінг-генератори та ін.). До виникнення автоколивань зводиться й відоме в авіації явище флатера (вібрація крила, що виникає при перевищенні деякої критичної швидкості польоту і може призвести до руйнування літака).

 Класичною в теорії коливань є схема автогенератора Ван дер Поля, досліджена в 1920х - 30х роках Ван дер Полем та О.О.Андроновим. Вона подана на рис.1.11.1а*.

(1.11.1)       .   

Апроксимація (1.11.1) відповідає реальній характеристиці при (рис.1.11.1б).

(1.11.2)        .  

(1.11.3)        .    

(1.11.4)        .    

(1.11.5)       .

(1.11.6)       , ,  ,       

запишемо остаточно ():

(1.11.7)        .  

 Диференціюванням та замінами , рівняння Релея зводиться до рівняння Ван дер Поля:

(1.11.8)       .   

 Вважатимемо виконаною умову

(1.11.9)        .     

(1.11.10)       .    

Тепер врахуємо, що є коефіцієнт зворотного зв’язку автогенератора (відношення напруги на затворі транзистора до напруги на індуктивності коливного контуру), - еквівалентний опір коливного контуру на резонансній частоті, - коефіцієнт підсилення резонансного підсилювача, який можна отримати з автогенератора Ван дер Поля, викинувши вторинну обмотку трансформатора і подавши вхідний сигнал на затвор транзистора. Отже, замість (1.11.9) отримаємо:

(1.11.11)        .   

 Це - відома з радіоелектроніки амплітудна умова самозбудження підсилювача, охопленого зворотним зв’язком. Друга необхідна умова - фазова - вимагає, щоб сигнал, пройшовши через підсилювач та коло зворотного зв’язку, змінив свою фазу на величину, кратну 2p . Вона задовольняється завдяки тому, що вторинна обмотка трансформатора переполюсована. Таким чином, транзистор і трансформатор кожен зсувають фазу сигналу на p.

 Отже рівняння (1.11.7) (або (1.11.8)) за умови (1.11.9) описує автогенератор, для якого виконано умови самозбудження.

 Перш ніж розв’язувати рівняння Релея, спробуємо якісно схарактеризувати поведінку його розв’язків.

 Нехай . Тоді при малих х, коли нелінійним доданком можна знехтувати, рівняння (1.11.7) відповідає осцилятору з малою від’ємною дисипацією. Його розв’язок - коливання, амплітуда яких експоненційно зростає з інкрементом (при відхилення від положення рівноваги при малих х матиме аперіодичний характер).

 При не дуже малих х можна розглядати величину як ефективний інкремент, що спадає із зростанням х. Коли він зменшиться до нуля, зростання коливань, очевидно, припиниться. Тоді амплітуду А коливань, що встановляться, можна оцінити із співвідношення , звідки

(1.11.12)         .  

 Нехай параметри рівняння (1.11.7) задовольняють таким умовам:

• (малі коливання є майже гармонічними);
• 

Тоді вказане рівняння можна розв’язувати методом повільно змінюваних амплітуд. Оскільки форма коливань залишається майже гармонічною, а нелінійність є слабкою, шукаємо розв’язок у вигляді коливань на частоті :

(1.11.13)       +к.с.,   

(1.11.14)       .  

(1.11.15)       .         

Підставивши (1.11.15) до (1.11.14), скоротивши на і прирівнявши до нуля окремо дійсну та уявну частини виразу, отримаємо:

(1.11.16)         

Перше з рівнянь (1.11.5) дає: , тобто коливання відбуваються з незмінною початковою фазою. В другому рівнянні вдається розділити змінні і подати його у формі:

(1.11.17)       .  

,

інтегруючи за часом від нуля до поточного моменту, а за амплітудою - від початкового значення до поточного значення, можна врешті решт отримати:

(1.11.18)       , 

(1.11.19)       .   

 Проаналізуємо залежність (1.11.18). Перш за все відзначимо, що (як ми й поклали) та . Таким чином, - це амплітуда стаціонарних коливань, що встановлюються в автогенераторі незалежно від їхньої початкової амплітуди. Звернемо увагу на те, що точне значення (1.11.19) мало відрізняється від оцінки (1.11.12).

 Для достатньо малих початкових амплітуд та початкових моментів часу, коли ,

отримаємо : поки нелінійним доданком в (1.11.7) можна знехтувати, коливання експоненційно зростають з інкрементом .

 Хід залежності (1.11.18) для різних початкових амплітуд поданий на рис.1.11.2.

 Для побудови фазового портрету перепишемо рівняння (1.11.7) у фазових змінних:

(1.11.20)        . 

(1.11.21)       .   

При нульова ізокліна лежить у першому та третьому квадрантах (рис.1.11.3а). Отже, в цій області (для невеликих a ) фазова траєкторія являє собою спіраль, що розкручується. Навпаки, при , коли нульова ізокліна лежить у другому та четвертому квадрантах, дістанемо спіраль, що скручується.

(1.11.22)       ,   

 Стійким граничним циклом на фазовій площині називають замкнену фазову траєкторію, до якої асимптотично прямують всі фазові траєкторії з деякого її околу при . Аналогічну траєкторію, до якої прямують всі фазові траєкторії з деякого її околу при , називають нестійким граничним циклом.

 Рівняння Релея (1.10.30) та рівняння Ван дер Поля (1.10.31) демонструють при переході параметра через нуль так звану біфуркацію Андронова - Хопфа: на місці стійкого фокуса народжується нестійкий фокус, оточений стійким граничним циклом (рис.1.11.3б). Ця біфуркація відповідає самозбудженню автогенератора.

 Розглянемо тепер інший крайній випадок роботи автогенератора Ван дер Поля, коли

(1.11.23)       .    

Його називають режимом релаксаційних коливань. Як уже відзначалося, в цьому режимі при малих х розв’язок рівняння Релея являє собою зростаючі експоненти з чисто дійсними показниками.

 Замінимо змінні в рівнянні (1.11.7):

(1.11.24)       ,  . 

В результаті воно набуде вигляду:

(1.11.25)         , .    

(1.11.26)          

У фазових змінних друге з рівнянь (1.11.26) набуде вигляду

(1.11.27)       .   

При воно дає траєкторію повільного руху:

(1.11.28)       .    

Рухаючись уздовж цієї траєкторії, зображуюча точка опиниться в одній з точок , жодна з яких не є стаціонарною (швидкості там відмінні від нуля). Стаціонарна ж точка , є нестійкою.

 Щоб розв’язати отриману суперечність, врахуємо ненульову величину параметра m . Тоді (1.11.27) за межами траєкторії повільного руху () описує майже вертикальну пряму () - траєкторію швидкого руху. Напрямок руху і його швидкість задає друге з рівнянь (1.11.26). Траєкторії швидкого та повільного руху зображені на рис.1.11.4а.

 Тепер зрозуміло, що зображуюча точка, що потрапила в точку В (рис.1.11.4б), опиниться на траєкторії швидкого руху і рухатиметься по ній до точки С. Потім по траєкторії повільного руху вона досягне точки D, а з неї по траєкторії швидкого руху перестрибне в точку А і по траєкторії повільного руху знову досягне точки В, сформувавши тим самим граничний цикл АВСD.

 Скориставшись формулою (1.7.10), можна побудувати епюри коливань. Вони подані на рис.1.11.5. Видно, що координата z на ділянках швидкого руху (ВС та DА) змінюється стрибком. Координата x стрибків не зазнає.

 За допомогою формули (1.7.10) можна також підрахувати період коливань вздовж циклу АВСD (беручи до уваги тільки ділянки повільного руху). Для “старого” часу t отримаємо:

(1.11.29)