КОЛИВАННЯ ТА ХВИЛІ

Вступ		В.1. Предмет теорії коливань і хвиль В.2. Класифікація коливних систем
		В.2.1. Класифікація за кількістю ступенів вільності. В.2.2. Класифікація за енергетичними характеристиками. В.2.3. Класифікація за характером диференціального рівняння. В.2.4. Умовність класифікації реальних коливних систем.
Частина I.		Коливні системи з одним ступенем вільності.
Розділ 1.1.		Вільні коливання лінійного осцилятора.
		1.1.1. Приклади лінійних осциляторів. 1.1.2. Розв'язок рівняння лінійного дисипативного осцилятора. 1.1.3. Рівняння консервативного осцилятора.
Розділ 1.2.		Вимушені коливання лінійного осцилятора під дією гармонічної сили.
		1.2.1. Приклади вимушених коливань лінійних осциляторів. 1.2.2. Осцилятор під дією зовнішньої сили - система з півтора ступенями вільності. 1.2.3. Коливання лінійного консервативного осцилятора під дією гармонічної сили. 1.2.4. Вплив дисипації на коливання лінійного осцилятора під дією гармонічної сили.
Розділ 1.3.		Вимушені коливання лінійного осцилятора під дією довільної сили: методи аналізу.
		1.3.1. Принцип суперпозиції. 1.3.2. Метод рядів та інтегралів Фур'є. 1.3.3. Інтеграл Дюгамеля. 1.3.4. Зв'язок між передавальною функцією та функцією Гріна. 1.3.5. Запис функції Гріна через власні функції однорідного рівняння.
Розділ 1.4.		Елементарна теорія параметричного резонансу (для ступінчастого накачування).
		1.4.1. Параметричний резонанс у системі без дисипації. 1.4.2. Параметричний резонанс у дисипативній системі. 1.4.3. Дисипативний параметричний осцилятор як регенеративний підсилювач. 1.4.4. Умови справедливості параметричного наближення.
Розділ 1.5.		Параметричний генератор з гармонічним накачуванням.
		1.5.1. Виведення рівняння Матьє. 1.5.2. Наближений розв'язок рівняння Матьє за методом повільно змінюваних амплітуд. 1.5.3. Механізм параметричної нестійкості. 1.5.4. Зони нестійкості рівняння Матьє.
Розділ 1.6.		Одноконтурний параметричний підсилювач.
		1.6.1. Розв'язок неоднорідного рівняння Матьє. 1.6.2. Форма амплітудно-частотної характеристики. 1.6.3. Пульсації коефіцієнта підсилення. 1.6.4. Залежність коефіцієнта підсилення від фази сигналу.
Розділ 1.7.		Вільні коливання нелінійного осцилятора.
		1.7.1. Консервативний осцилятор з квадратичною та кубічною нелінійністю: аналіз за методом послідовних наближень. 1.7.2. Ангармонізм та неізохронність коливань нелінійного осцилятора. 1.7.3. Фазовий портрет нелінійного осцилятора.
Розділ 1.8.		Стійкість коливних систем із зосередженими параметрами.
		1.8.1. Стійкість руху за Ляпуновим. 1.8.2. Орбітальна стійкість. 1.8.3. Асимптотична та абсолютна стійкість. 1.8.4. Критерій Рауса - Гурвиця. 1.8.5. Структурна стійкість (грубість) коливної системи.
Розділ 1.9.		Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора.
		1.9.1. Обговорення моделі. 1.9.2. Прийняті припущення та отримання рівняння для амплітуди. 1.9.3. Нелінійне обмеження резонансної амплітуди коливань. 1.9.4. Графічний аналіз рівняння для амплітуди. 1.9.5. Гістерезис. 1.9.6. Вплив слабкої дисипації на ефект гістерезису. 1.9.7. Резонансна крива для дисипативного осцилятора. 1.9.8. Резонанс на кратних гармоніках та на субгармоніках.
Розділ 1.10.		Вимушені коливання нелінійного консервативного осцилятора.
		1.10.1. Гамільтонівські системи та змінні дія - кут. 1.10.2. Потенціал зовнішньої сили. 1.10.3. Рівняння нелінійного резонансу. 1.10.4. Фазові коливання. 1.10.5. Ширина нелінійного резонансу. 1.10.6. Аналіз використаних наближень. 1.10.7. Перекриття нелінійних резонансів. 1.10.8. Вимушені коливання математичного маятника поблизу сепаратриси. 1.10.9. Стохастичний шар. 1.10.10. Вплив нерезонансних доданків на фазові коливання.
Розділ 1.11.		Автоколивання.
		1.11.1. Виведення нелінійного рівняння автогенератора Ван дер Поля. 1.11.2. Умови самозбудження автогенератора. 1.11.3. Рівняння Релея: якісний аналіз розв'язку. 1.11.4. Режим майже гармонічних коливань. 1.11.5. Фазовий портрет генератора майже гармонічних коливань. 1.11.6. Режим релаксаційних коливань.
Розділ 1.12.		Коливання автогенератора під дією зовнішньої сили.
		1.12.1. Квазілінійна теорія автогенератора та ефект вимушеної синхронізації. 1.12.2. Неоднорідне рівняння Ван дер Поля: розв'язок за методом повільно змінюваних амплітуд. 1.12.3.Резонансні криві для вимушених коливань автогенератора. 1.12.4. Стійкість резонансних кривих. 1.12.5. Вимушена синхронізація: випадок малих зовнішніх сил. 1.12.6. Вимушена синхронізація: випадок великих зовнішніх сил. 1.12.7. Вимушена синхронізація половинною та подвійною частотою.
Розділ 1.13.		Стохастичний режим динамічної системи: генератор шуму Кияшка - Піковського - Рабиновича.
		1.13.1. Непередбачувана поведінка простих систем. 1.13.2. Генератор шуму КПР: схема та рівняння руху. 1.13.3.Якісний аналіз рівнянь руху в режимах регулярних коливань. 1.13.4. Фазовий портрет стохастичних коливань. 1.13.5. Біфуркації генератора КПР при зміні керуючого параметра.
Частина ІІ.		Коливні системи з багатьма ступенями вільності.
Розділ 2.1.		Вільні коливання в системах з багатьма ступенями вільності.
		2.1.1. Приклади систем з багатьма ступенями вільності. 2.1.2. Рівняння руху для зв'язаних консервативних осциляторів. 2.1.3. Характеристичне рівняння, власні частоти та коефіцієнти розподілу амплітуд. 2.1.4. Обмін енергією між ступенями вільності. 2.1.5. Нормальні моди. 2.1.6. Розштовхування власних частот.
Розділ 2.2.		Вимушені коливання в лінійних системах з багатьма ступенями вільності.
		2.2.1. Вихідні рівняння. 2.2.2. Особливості резонансних кривих. 2.2.3. Теорема взаємності. 2.2.4. Ортогональність зовнішніх сил до нормальних мод.
Розділ 2.3.		Коливання параметричних систем з багатьма ступенями вільності.
		2.3.1. Схема двоконтурного параметричного підсилювача та рівняння, що її описують. 2.3.2. Регенеративний підсилювач з високочастотним накачуванням. 2.3.3. Нерегенеративний перетворювач частоти з низькочастотним накачуванням. 2.3.4. Співвідношення Менлі - Роу.
Розділ 2.4.		Конкуренція мод у багаточастотному автогенераторі.
		2.4.1. Схема двочастотного автогенератора. 2.4.2. Вихідні рівняння. 2.4.3. Виведення вкорочених рівнянь. 2.4.4. Система рівнянь для мод з нелінійним зв'язком. 2.4.5. Стаціонарні стани та їхня стійкість. 2.4.6. Фазові портрети. 2.4.7. Затягування частоти в двочастотному автогенераторі.
Розділ 2.5.		Хаос у гамільтонівських системах із багатьма ступенями вільності.
		2.5.1. Оператор потоку. 2.5.2. Фазовий простір гамільтонівських систем. 2.5.3. Ергодичні системи. 2.5.4. Перемішування в гамільтонівських системах. 2.5.5. Показники Ляпунова та ентропія Колмогорова - Синая. 2.5.6. Спектри хаотичного руху.
Розділ 2.6.		Хаос у дисипативних системах із багатьма ступенями вільності.
		2.6.1. Прості атрактори. 2.6.2. Дивні атрактори. 2.6.3. Фрактали. 2.6.4. Сценарії переходу до хаосу. 2.6.5. Сценарій Рюеля - Такенса. 2.6.6. Сценарій Фейгенбаума. 2.6.7. Сценарій Помо - Манервіля.
Розділ 2.7.		Хаос у дисипативних системах із багатьма ступенями вільності.
Розділ 2.8.		2.8. Ланцюжкові системи.
Частина ІІІ.		Системи з розподіленими параметрами.
Розділ 3.1.		Лінійні хвилі в пасивних системах із розподіленими параметрами.
		3.1.1. Приклади хвиль малої амплітуди в пасивних системах. 3.1.2. Розв'язок хвильового рівняння. Дисперсія. 3.1.3. Початкова та гранична задача. 3.1.4. Поширення хвильового пакету в лінії з дисперсією. 3.1.5. Формальна класифікація дисперсії. 3.1.6. Причини виникнення дисперсії (модельний розгляд). 3.1.7. Просторова і часова дисперсія в електродинаміці суцільних середовищ.
Розділ 3.2.		Зв'язані хвилі в пасивних системах.
		3.2.1. Зв'язок між хвилями без дисперсії. 3.2.2. Зв'язок між хвилями з однаковими знаками дисперсії. 3.2.3. Зв'язок між хвилями з протилежними знаками дисперсії.
Розділ 3.3.		Зв'язані хвилі у відкритих (нерівноважних) системах.
		3.3.1. Дисперсійне рівняння для хвиль у двопучковому підсилювачі. 3.3.2. Генератор на зустрічних пучках. 3.3.3. Двопучковий підсилювач. 3.3.4. Абсолютна, конвективна та осциляторна нестійкість. 3.3.5. Критерій Брігса.
Розділ 3.4.		Нелінійні хвилі в пасивних системах.
		3.4.1. Хвилі в консервативному нелінійному середовищі без дисперсії. 3.4.2. Хвилі в нелінійному слабкодисипативному середовищі. 3.4.3. Хвилі в нелінійному консервативному середовищі зі слабкою дисперсією.
Розділ 3.5.		Хвилі в нелінійних активних системах.
		3.5.1. Нелінійні кінетичні рівняння дифузійного типу. 3.5.2. Бістабільні середовища. Біжучі фронти. 3.5.3. Середовища з відновленням. Біжучі імпульси та спіральні хвилі. 3.5.4. Автоколивні середовища. Фазові хвилі. 3.5.5. Дисипативні структури. 3.5.6. Турбулентність.
Розділ 3.6.		Хвилі в нелінійних пасивних системах зі слабкою дисперсією.
Розділ 3.7.		Хвилі в нелінійних активних системах.
Література.

В.1. Предмет теорії коливань і хвиль
В.2. Класифікація коливних систем

В.2.1. Класифікація за кількістю ступенів вільності. В.2.2. Класифікація за енергетичними характеристиками. В.2.3. Класифікація за характером диференціального рівняння. В.2.4. Умовність класифікації реальних коливних систем.

Частина I.

Коливні системи з одним ступенем вільності.

Розділ 1.1.

Вільні коливання лінійного осцилятора.

1.1.1. Приклади лінійних осциляторів. 1.1.2. Розв'язок рівняння лінійного дисипативного осцилятора. 1.1.3. Рівняння консервативного осцилятора.

Розділ 1.2.

Вимушені коливання лінійного осцилятора під дією гармонічної сили.

1.2.1. Приклади вимушених коливань лінійних осциляторів. 1.2.2. Осцилятор під дією зовнішньої сили - система з півтора ступенями вільності. 1.2.3. Коливання лінійного консервативного осцилятора під дією гармонічної сили. 1.2.4. Вплив дисипації на коливання лінійного осцилятора під дією гармонічної сили.

Розділ 1.3.

Вимушені коливання лінійного осцилятора під дією довільної сили: методи аналізу.

1.3.1. Принцип суперпозиції. 1.3.2. Метод рядів та інтегралів Фур'є. 1.3.3. Інтеграл Дюгамеля. 1.3.4. Зв'язок між передавальною функцією та функцією Гріна. 1.3.5. Запис функції Гріна через власні функції однорідного рівняння.

Розділ 1.4.

Елементарна теорія параметричного резонансу (для ступінчастого накачування).

1.4.1. Параметричний резонанс у системі без дисипації. 1.4.2. Параметричний резонанс у дисипативній системі. 1.4.3. Дисипативний параметричний осцилятор як регенеративний підсилювач. 1.4.4. Умови справедливості параметричного наближення.

Розділ 1.5.

Параметричний генератор з гармонічним накачуванням.

1.5.1. Виведення рівняння Матьє. 1.5.2. Наближений розв'язок рівняння Матьє за методом повільно змінюваних амплітуд. 1.5.3. Механізм параметричної нестійкості. 1.5.4. Зони нестійкості рівняння Матьє.

Розділ 1.6.

Одноконтурний параметричний підсилювач.

1.6.1. Розв'язок неоднорідного рівняння Матьє. 1.6.2. Форма амплітудно-частотної характеристики. 1.6.3. Пульсації коефіцієнта підсилення. 1.6.4. Залежність коефіцієнта підсилення від фази сигналу.

Розділ 1.7.

Вільні коливання нелінійного осцилятора.

1.7.1. Консервативний осцилятор з квадратичною та кубічною нелінійністю: аналіз за методом послідовних наближень. 1.7.2. Ангармонізм та неізохронність коливань нелінійного осцилятора. 1.7.3. Фазовий портрет нелінійного осцилятора.

Розділ 1.8.

Стійкість коливних систем із зосередженими параметрами.

1.8.1. Стійкість руху за Ляпуновим. 1.8.2. Орбітальна стійкість. 1.8.3. Асимптотична та абсолютна стійкість. 1.8.4. Критерій Рауса - Гурвиця. 1.8.5. Структурна стійкість (грубість) коливної системи.

Розділ 1.9.

Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора.

1.9.1. Обговорення моделі. 1.9.2. Прийняті припущення та отримання рівняння для амплітуди. 1.9.3. Нелінійне обмеження резонансної амплітуди коливань. 1.9.4. Графічний аналіз рівняння для амплітуди. 1.9.5. Гістерезис. 1.9.6. Вплив слабкої дисипації на ефект гістерезису. 1.9.7. Резонансна крива для дисипативного осцилятора. 1.9.8. Резонанс на кратних гармоніках та на субгармоніках.

Розділ 1.10.

Вимушені коливання нелінійного консервативного осцилятора.

1.10.1. Гамільтонівські системи та змінні дія - кут. 1.10.2. Потенціал зовнішньої сили. 1.10.3. Рівняння нелінійного резонансу. 1.10.4. Фазові коливання. 1.10.5. Ширина нелінійного резонансу. 1.10.6. Аналіз використаних наближень. 1.10.7. Перекриття нелінійних резонансів. 1.10.8. Вимушені коливання математичного маятника поблизу сепаратриси. 1.10.9. Стохастичний шар. 1.10.10. Вплив нерезонансних доданків на фазові коливання.

Розділ 1.11.

Автоколивання.

1.11.1. Виведення нелінійного рівняння автогенератора Ван дер Поля. 1.11.2. Умови самозбудження автогенератора. 1.11.3. Рівняння Релея: якісний аналіз розв'язку. 1.11.4. Режим майже гармонічних коливань. 1.11.5. Фазовий портрет генератора майже гармонічних коливань. 1.11.6. Режим релаксаційних коливань.

Розділ 1.12.

Коливання автогенератора під дією зовнішньої сили.

1.12.1. Квазілінійна теорія автогенератора та ефект вимушеної синхронізації. 1.12.2. Неоднорідне рівняння Ван дер Поля: розв'язок за методом повільно змінюваних амплітуд. 1.12.3.Резонансні криві для вимушених коливань автогенератора. 1.12.4. Стійкість резонансних кривих. 1.12.5. Вимушена синхронізація: випадок малих зовнішніх сил. 1.12.6. Вимушена синхронізація: випадок великих зовнішніх сил. 1.12.7. Вимушена синхронізація половинною та подвійною частотою.

Розділ 1.13.

Стохастичний режим динамічної системи: генератор шуму Кияшка - Піковського - Рабиновича.

1.13.1. Непередбачувана поведінка простих систем. 1.13.2. Генератор шуму КПР: схема та рівняння руху. 1.13.3.Якісний аналіз рівнянь руху в режимах регулярних коливань. 1.13.4. Фазовий портрет стохастичних коливань. 1.13.5. Біфуркації генератора КПР при зміні керуючого параметра.

Частина ІІ.

Коливні системи з багатьма ступенями вільності.

Розділ 2.1.

Вільні коливання в системах з багатьма ступенями вільності.

2.1.1. Приклади систем з багатьма ступенями вільності. 2.1.2. Рівняння руху для зв'язаних консервативних осциляторів. 2.1.3. Характеристичне рівняння, власні частоти та коефіцієнти розподілу амплітуд. 2.1.4. Обмін енергією між ступенями вільності. 2.1.5. Нормальні моди. 2.1.6. Розштовхування власних частот.

Розділ 2.2.

Вимушені коливання в лінійних системах з багатьма ступенями вільності.

2.2.1. Вихідні рівняння. 2.2.2. Особливості резонансних кривих. 2.2.3. Теорема взаємності. 2.2.4. Ортогональність зовнішніх сил до нормальних мод.

Розділ 2.3.

Коливання параметричних систем з багатьма ступенями вільності.

2.3.1. Схема двоконтурного параметричного підсилювача та рівняння, що її описують. 2.3.2. Регенеративний підсилювач з високочастотним накачуванням. 2.3.3. Нерегенеративний перетворювач частоти з низькочастотним накачуванням. 2.3.4. Співвідношення Менлі - Роу.

Розділ 2.4.

Конкуренція мод у багаточастотному автогенераторі.

2.4.1. Схема двочастотного автогенератора. 2.4.2. Вихідні рівняння. 2.4.3. Виведення вкорочених рівнянь. 2.4.4. Система рівнянь для мод з нелінійним зв'язком. 2.4.5. Стаціонарні стани та їхня стійкість. 2.4.6. Фазові портрети. 2.4.7. Затягування частоти в двочастотному автогенераторі.

Розділ 2.5.

Хаос у гамільтонівських системах із багатьма ступенями вільності.

2.5.1. Оператор потоку. 2.5.2. Фазовий простір гамільтонівських систем. 2.5.3. Ергодичні системи. 2.5.4. Перемішування в гамільтонівських системах. 2.5.5. Показники Ляпунова та ентропія Колмогорова - Синая. 2.5.6. Спектри хаотичного руху.

Розділ 2.6.

Хаос у дисипативних системах із багатьма ступенями вільності.

2.6.1. Прості атрактори. 2.6.2. Дивні атрактори. 2.6.3. Фрактали. 2.6.4. Сценарії переходу до хаосу. 2.6.5. Сценарій Рюеля - Такенса. 2.6.6. Сценарій Фейгенбаума. 2.6.7. Сценарій Помо - Манервіля.

Розділ 2.7.

Хаос у дисипативних системах із багатьма ступенями вільності.

Розділ 2.8.

2.8. Ланцюжкові системи.

Частина ІІІ.

Системи з розподіленими параметрами.

Розділ 3.1.

Лінійні хвилі в пасивних системах із розподіленими параметрами.

3.1.1. Приклади хвиль малої амплітуди в пасивних системах. 3.1.2. Розв'язок хвильового рівняння. Дисперсія. 3.1.3. Початкова та гранична задача. 3.1.4. Поширення хвильового пакету в лінії з дисперсією. 3.1.5. Формальна класифікація дисперсії. 3.1.6. Причини виникнення дисперсії (модельний розгляд). 3.1.7. Просторова і часова дисперсія в електродинаміці суцільних середовищ.

Розділ 3.2.

Зв'язані хвилі в пасивних системах.

3.2.1. Зв'язок між хвилями без дисперсії. 3.2.2. Зв'язок між хвилями з однаковими знаками дисперсії. 3.2.3. Зв'язок між хвилями з протилежними знаками дисперсії.

Розділ 3.3.

Зв'язані хвилі у відкритих (нерівноважних) системах.

3.3.1. Дисперсійне рівняння для хвиль у двопучковому підсилювачі. 3.3.2. Генератор на зустрічних пучках. 3.3.3. Двопучковий підсилювач. 3.3.4. Абсолютна, конвективна та осциляторна нестійкість. 3.3.5. Критерій Брігса.

Розділ 3.4.

Нелінійні хвилі в пасивних системах.

3.4.1. Хвилі в консервативному нелінійному середовищі без дисперсії. 3.4.2. Хвилі в нелінійному слабкодисипативному середовищі. 3.4.3. Хвилі в нелінійному консервативному середовищі зі слабкою дисперсією.

Розділ 3.5.

Хвилі в нелінійних активних системах.

3.5.1. Нелінійні кінетичні рівняння дифузійного типу. 3.5.2. Бістабільні середовища. Біжучі фронти. 3.5.3. Середовища з відновленням. Біжучі імпульси та спіральні хвилі. 3.5.4. Автоколивні середовища. Фазові хвилі. 3.5.5. Дисипативні структури. 3.5.6. Турбулентність.

Розділ 3.6.

Хвилі в нелінійних пасивних системах зі слабкою дисперсією.

Розділ 3.7.

Хвилі в нелінійних активних системах.

Література.

Кнопки