1.3. Вимушені коливання лінійного осцилятора під дією довільної сили: методи аналізу.

 1.3.1. Принцип суперпозиції.

 Для систем, описуваних лінійними диференціальними рівняннями (тобто власне лінійних і параметричних за класифікацією, введеною у п.В.2), справджується принцип суперпозиції: відгук системи на дію суми зовнішніх сил дорівнює сумі відгуків на дію кожної з цих сил.

 Розглянемо загальний випадок, коли на систему, описувану лінійним диференціальним рівнянням п-го порядку (тобто з п/2 ступенями вільності; беремо найбільш загальний випадок рівняння із змінними коефіцієнтами), діє довільна (негармонічна) зовнішня сила:

(1.3.1)       ,  .

Для того, щоб побудувати розв’язок рівняння (1.3.1), подамо його праву частину -зовнішню силу - у вигляді деяких “зручних” функцій (парціальних сил), для яких легко знайти розв’язки (відгуки). Згідно принципу суперпозиції, відгук на дію зовнішньої сили дорівнює просто сумі відгуків на ці парціальні сили.

1.3.2. Метод рядів та інтегралів Фур’є.

У багатьох випадках у ролі таких “зручних” функцій виступають гармоніки (наприклад, експоненти з уявними показниками). Тоді метод розв’язання рівняння (1.3.1) зводиться до використання рядів (якщо зовнішня сила періодична) або інтегралів (для неперіодичних зовнішніх сил) Фур’є.

Нехай - чисто вимушений розв’язок рівняння (1.3.1) для . Тоді величина

(1.3.2)       

називається коефіцієнтом передачі, або передавальною функцією системи*.

 Нехай сила в правій частині (1.3.1) періодична з періодом Т. Розкладемо її в ряд Фур’є:

(1.3.3)       ,

               .

Тоді відгук системи на гармоніку з номером m буде

,

а повний відгук, тобто вимушений розв’язок (1.3.1) -

(1.3.4)       . 

 Для неперіодичної сили з обмеженою енергією,

,

отримаємо:

(1.3.5)       ,
                  .

Тоді

(1.3.6)       .  

1.3.3. Інтеграл Дюгамеля.

 У випадку аналізу за методом рядів (інтегралів) Фур’є ми розкладали зовнішню силу на нескінчені в часі гармоніки, які діють всі одночасно. Але іноді для неперіодичної зовнішньої сили зручніше розкласти її на короткі імпульси, що діють на систему послідовно (рис.1.3.1а). Спрямовуючи тривалість окремих імпульсів до нуля, приходимо до розкладу сили по d -функціях Дірака:

(1.3.7)          

(тут f(q ) - амплітуда відповідної d -функції).

Відгук рівняння (1.3.1) на силу вигляду (де q - момент удару) називають функцією Гріна системи ** (рис.1.3.1б). Оскільки реакція на удар не може передувати самому удару, то, виходячи з принципу причинності,

(1.3.8)       .

 Користуючись функцією Гріна і принципом суперпозиції, розв’язок рівняння (1.3.1) можна подати у вигляді послідовної в часі суми відгуків на окремі імпульси:

(1.3.9)        

(рис.1.3.1в; у другому інтегралі враховано умову (1.3.8)). Перепозначимо . Тоді, замінивши змінну інтегрування, можна записати:

(1.3.9а)         ,

де t =t-q - час, що минув від удару до моменту спостереження.

 Інтеграли вигляду (1.3.9) прийнято називати інтегралами Дюгамеля (І роду).

а

б

в

Рис.1.3.1. До пояснення інтегралу Дюгамеля: а - розклад зовнішньої сили по; б - функція Гріна (показана умовно); в - інтеграл Дюгамеля як сума відгуків на окремі d -функції.

1.3.4. Зв’язок між передавальною функцією та функцією Гріна.

 Оскільки розв’язки (1.3.6) та (1.3.9) стосуються того самого рівняння, передавальна функція та функція Гріна системи повинні бути пов’язані між собою. Для знаходження цього зв’язку в інтегралі (1.29а) розкладемо функцію f(t-t ) в інтеграл Фур’є і змінимо порядок інтегрування:

(1.3.10)       .

Порівнюючи (1.3.10) з (1.3.6), приходимо до висновку, що

(1.3.11)       .  

Цей інтеграл має вигляд перетворення Фур’є (де t відіграє роль часу, р - роль частоти, t виступає як параметр), тому можна записати і зворотне перетворення:

(1.3.12)       . 

1.3.5. Запис функції Гріна через власні функції однорідного рівняння.

 Користуватися співвідношенням (1.3.12) для знаходження функції Гріна незручно. Її легше записати через набір лінійно незалежних розв’язків рівняння (1.3.1) без правої частини. Позначимо ці розв’язки черезy1, y2, ..., yn. Тоді функцію Гріна можна подати у вигляді:

(1.3.13)       

(у знаменнику стоїть вронськіан рівняння (1.3.1) без правої частини аргументу q ).

*Якщо коефіцієнти в рівнянні (1.3.1) сталі, передавальна функція не залежить від часу.

**Якщо коефіцієнти в (1.3.1) не залежать від часу, то H(t,q)= H(t-q).

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]