1.4 Елементарна теорія параметричного резонансу (для ступінчастого накачування).

 Найпростішими для аналізу є параметричні системи (означення див. у п.В.2), у яких деякий параметр змінюється стрибкоподібно.

 1.4.1. Параметричний резонанс у системі без дисипації.

 Розглянемо маятник, що здійснює малі коливання і в якого довжина підвісу стрибком змінюється двічі за період коливань під дією деякої зовнішньої сили: коли маятник знаходиться в крайніх положеннях (точки 2 та 2¢ ), довжина зростає, коли він проходить через положення рівноваги (точка 1) - зменшується (рис.1.4.1).

 

 

 

 

 

 

Рис.1.4.1. Маятник зі змінною довжиною

підвісу

 Оскільки в точці 1 на масу діє сума сили тяжіння та відцентрової сили, робота, що витрачається на вкорочення підвісу, буде

.

В точках 2 та 2' присутня лише сила тяжіння, тому робота, яка виконується при подовженні підвісу, буде рівна

.

Тоді сумарна робота, що виконується джерелом зовнішньої сили за період коливань, дорівнює

(1.4.1)       .

 Очевидно, ця робота витрачається на збільшення амплітуди коливань маятника. Говорять, що в системі має місце параметричний резонанс, або параметрична нестійкість коливань.

Маятник зі змінною довжиною підвісу є моделлю звичайної гойдалки. Справді, дитина, яка намагається розгойдати гойдалку, присідає, коли відхилення максимальне, і випростується, коли гойдалка проходить через положення рівноваги.

1.4.2. Параметричний резонанс у дисипативній системі.

Розглянемо тепер коливання в контурі зі змінною ємністю (рис.1.4.2а). Нехай у моменти, коли напруга на ємності максимальна, ми розсуваємо пластини, тим самим зменшуючи ємність. У моменти ж, коли напруга рівна нулеві, ми знову зсуваємо пластини, збільшуючи ємність (рис.1.4.2б, верхня епюра).Відзначимо, що період коливань ємності (або, як кажуть, період накачування) вдвічі менший від періоду власних коливань контуру. В моменти, коли ми розсуваємо пластини конденсатора, заряд на них не встигає змінитись. Отже, при цьому стрибком зростає напруга на конденсаторі - - і збільшується накопичена енергія - . В моменти, коли пластини зсуваються, вся енергія зосереджена в котушці індуктивності і, отже, залишається незмінною. Таким чином, амплітуда коливань в контурі з часом зростатиме (рис.1.4.2б, нижня епюра).

 Проаналізуємо тепер цей процес кількісно. Вважатимемо глибину модуляції ємності малою (m<<1), а добротність контуру - великою (Q>>1). Тоді відносна зміна амплітуди коливань за період також буде малою, тобто коливання наближено можна вважати гармонічними.

При зміні ємності на величину dC енергія конденсатора змінюється на величину . В нашому випадку , розсування пластин здійснюється двічі за період коливань, тому енергія, що надходить у контур від джерела накачування (внаслідок зміни ємності), буде

 

 

 

а

б

Рис.1.4.2. Коливний контур із конденсатором, у якому ступінчасто змінюється ємність:

а - схема; б - зміна ємності та напруги на ній з часом.

(1.4.2)       .

Енергія втрат на активному опорі за період коливань:

(1.4.3)       ,

де враховано, що для гармонічних коливань .

Умова зростання амплітуди коливань - перевищення енергії, що надходить у контур, над втратами:, або

(1.4.4)        .  

Отже, (1.4.4) є умовою параметричного резонансу. Ми бачимо, що тепер він має поріг (за глибиною модуляції ємності), обумовлений наявністю дисипації в коливній системі.

1.4.3. Дисипативний параметричний осцилятор як регенеративний підсилювач.

Якщо , то енергія, що надходить від джерела накачування, лише частково компенсує втрати на активному опорі. Це можна інтерпретувати як зменшення активного опору контуру і збільшення його еквівалентної добротності:

,

(1.4.5)       ,  .

 В результаті падіння напруги на реактивних елементах зростає в

(1.4.6)       

разів порівняно з випадком, коли накачування відсутнє. Структура формули (1.4.6) така сама, як у виразу для коефіцієнта підсилення підсилювача, охопленого позитивним зворотним зв’язком з коефіцієнтом b :

(1.4.7)       .

 Підвищення коефіцієнту підсилення підсилювача за рахунок його охоплення позитивним зворотнім зв’язком (по суті, це буде недозбуджений автогенератор) називають регенеративним підсиленням. Отже, у випадку, коли умова (1.4.4) не виконана, параметричний контур виступає в ролі підсилювача, що працює за регенеративним механізмом. Як і звичайний регенеративний підсилювач, при виконанні умови самозбудження він перетворюється на автогенератор.

1.4.4. Умови справедливості параметричного наближення.

 Звичайно, на практиці ніхто не змінює ємність конденсатора шляхом механічної зміни віддалі між пластинами. В ролі змінної ємності виступає варікап, на який подається відповідна керуюча напруга (напруга накачування) - як правило, гармонічна (рис.1.4.3). Отже, реально ми маємо нелінійний елемент, на який діє зовнішня сила, тобто права частина схеми на рис.1.4.3 являє собою не параметричний, а нелінійний неавтономний осцилятор. Справді, ємність варікапа може, в принципі, змінюватися не лише під впливом напруги накачування, але й під впливом напруги сигналу в контурі. Останнім ефектом, очевидно, можна знехтувати в тому випадку, коли напруга сигналу за амплітудою значно менша від напруги накачування. Це і є умова справедливості параметричного наближення.

Рис.1.4.3. Схема реального параметричного генератора з варікапом. Правий контур настроєний на частоту сигналу, лівий - на частоту накачування.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]