1.5 Параметричний генератор з гармонічним накачуванням.

1.5.1. Виведення рівняння Матьє.

 Вважаючи виконаними умови параметричного наближення, розглядатимемо коливання в контурі з параметричною ємністю (рис.1.4.2а). Ємність контуру змінюється за законом:

(1.5.1)       

Рівняння для коливань у цьому контурі можна записати за ІІ законом Кірхгофа:

(1.5.2)       .

Перейдемо від струму до заряду на ємності, скориставшись співвідношенням . Врахуємо, що m<<1; тоді

(1.5.3)        .

Підставивши (1.5.3) до (1.5.2) і скориставшись звичайними позначеннями , , остаточно дістанемо:

(1.5.4)       .

Це - так зване рівняння Матьє, що описує коливання параметричного осцилятора з гармонічним накачуванням.

1.5.2. Наближений розв’язок рівняння Матьє за методом повільно змінюваних амплітуд.

 Ми побудуємо наближений розв’язок рівняння Матьє, вважаючи виконаними такі припущення:

(частота накачування приблизно вдвічі більша від резонансної частоти контуру).

 Відповідно параметри m, d та D розглядатимемо як величини першого порядку мализни. Будуватимемо розв’язок за методом послідовних наближень, обмежуючись першим порядком.

В нульовому наближенні за параметрами m та d   рівняння зводиться до вигляду (1.1.2), тобто описує чисто гармонічні коливання. Можна думати, що врахування цих малих параметрів мало змінить розв’язок рівняння. Тому шукатимемо його за методом повільно змінюваних амплітуд* у вигляді**:

(1.5.5)       , 

де комплексна амплітуда A(t) мало змінюється за період коливань з частотою w . Це означає, що . Додавши таку саму умову для першої похідної, перейшовши від періоду до частоти і знехтувавши коефіцієнтом 2p в сильній нерівності, остаточно отримаємо умову для повільно змінюваної амплітуди:

(1.5.6)       .

Складові нерівності (1.5.6) вважатимемо величинами відповідно нульового, першого та другого порядків мализни.

 Диференціюючи (1.5.5), отримаємо:

(1.5.7)       к.с.; 

к.с.

 Підставимо (1.5.5), (1.5.7) до рівняння Матьє (1.5.4). Враховуючи нерівності (1.5.6), відкинемо доданки другого та вищих порядків мализни. Врахуємо також, що з точністю до першого порядку мализни . З тією ж точністю замінимо всюди, крім аргументів експонент, w на w0. Доданки, пропорційні до т, перенесемо в праву частину рівняння. Дістанемо:

                  к.с.=

(1.5.8)         

                  ,

де в правій частині в силу високої добротності контуру залишено лише коливання з частотами, близькими до резонансної ***.

 Всі доданки в обох частинах (1.5.8) пропорційні до exp(iw t) або exp(-iw t). Рівність повинна справджуватися для довільного моменту часу. Це можливо лише тоді, коли рівні амплітуди відповідних експонент в обох частинах рівняння. Отже, прирівнюючи амплітуди при exp(iw t), дістанемо:

(1.5.9)       .

(рівність амплітуд при exp(-iw t) дає рівняння, комплексно спряжене до (1.5.9)).

 Рівняння (1.5.9) називають вкороченим рівнянням, або рівнянням для повільно змінюваних амплітуд. Видно, що воно, на відміну від (1.5.4), має постійні коефіцієнти, і його легко розв’язати.

 Перейдемо від комплексної амплітуди А до чисто дійсних величин:

(1.5.10)       .

Підставивши (1.5.10) до (1.5.9) і прирівнявши до нуля окремо дійсну і уявну частину, отримаємо систему:

(1.5.11)       

 Розв’язки системи (1.5.11) шукаємо в експоненційному вигляді:

(1.5.12)       ,

                   . 

Підстановка (1.5.12) перетворює (1.5.11) в систему лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь щодо відповідних амплітуд. Ця система має нетривіальні розв’язки, лише коли її визначник рівний нулеві. Звідси

(1.5.13)       ,

                   .   

Другий корінь (1.5.13) завжди від’ємний. Перший буде додатнім, коли

(1.5.14)         .  

Область у координатах (т, D ), де виконано умову (1.5.14), показана на рис.1.5.1а. У цій області параметрів амплітуда коливань параметричного осцилятора з часом експоненційно зростатиме****.

а

б

Рис.1.5.1. Зони нестійкості рівняння Матьє: а - результати наближеного розв’язку для першої

зони, б - результати точного розв’язку при d = 0 (1) та d 0 (2).

 У випадку точного резонансу (w =w 0) з (1.5.14) дістанемо:

(1.5.15)        .

 Порівнюючи (1.5.15) з (1.4.4), бачимо, що для гармонічного накачування поріг параметричного резонансу вийшов вищим, ніж для ступінчастого.

1.5.3. Механізм параметричної нестійкості.

 Як уже вказувалося (п.1.4), існує аналогія між параметричним осцилятором та підсилювачем, охопленим зворотним зв’язком.

 У випадку рівняння Матьє джерелом зворотного зв’язку служить доданок , який відповідає напрузі, створюваній сигналом на змінній частині ємності. Взаємодія сигналу та накачування на параметричній ємності породжує сумарну та різницеву частоти, . Остання і являє собою сигнал зворотного зв’язку (рис.1.5.2а). Цей зв’язок може бути як негативним (йому відповідає розв’язок у вигляді експоненти з показником ), так і позитивним (розв’язок з ). В останньому випадку за виконання амплітудної умови (1.5.13) відбувається самозбудження - сигнал експоненційно зростає від рівня флуктуацій. Оскільки сигнал зворотного зв’язку з’являється в результаті одноразової взаємодії сигналу та накачування, інкремент ***** параметричної нестійкості (за відсутності розстроювання та дисипації) виявляється пропорційним до т.

а

б

Рис.1.5.2. Схеми утворення сигналу зворотного зв’язку в першій (а) та другій (б) зонах нестійкості рівняння Матьє.

1.5.4. Зони нестійкості рівняння Матьє.

 Точні розв’язки рівняння Матьє записуються через деякі спеціальні функції - функції Матьє. Таблиці цих функцій можна знайти в довідниках. В залежності від параметрів рівняння функції Матьє з часом можуть спадати або зростати. На рис.1.5.1б показано області (в параметрах т, 2w0/wН), де функції Матьє зростають - так звані зони нестійкості рівняння Матьє. Видно, що зростання коливань можливе не лише при , а при виконанні більш загальної умови

(1.5.16)       ,                  

Число п називається номером зони нестійкості.

 З рис.1.5.1б видно, що із зростанням номера зони нестійкості стають вужчими, а пороги нестійкості (за наявності дисипації) - вищими.

 Обговоримо механізм нестійкості у зонах вищих порядків на прикладі другої зони (, див. рис.1.5.2б). Взаємодія сигналу і накачування на нелінійному елементі породжує сумарну частоту та різницеву частоту (постійну складову), амплітуди яких пропорційні до т. Кожен із цих сигналів, у свою чергу взаємодіючи з накачуванням, знову породжує сумарні та різницеві частоти - та - амплітудами, пропорційними до т2. Отриманий таким чином сигнал з частотою і відіграє роль сигналу зворотного зв’язку. В результаті інкремент нестійкості (за відсутності розстроювання та дисипації) виявляється пропорційним до т2.

*Його називають також методом Ван дер Поля.
**Вибір частоти коливань, рівної половині частоти накачування, є специфічним для даного конкретного рівняння і обумовлений необхідністю постійного дотримання фазових співвідношень між коливаннями напруги в контурі і зміною параметричної ємності (див. рис. 1.9б).
***Строго кажучи, при побудові розв'язку (1.5.5) слід було врахувати доданки типу a(t)exp(i3wt)+к.с., але їхні амплітуди матимуть більш високий (перший) порядок мализни порівняно з (1.5.5).
****Слід пам'ятати, що при великих амплітудах сигналу параметричне наближення стане несправедливим, і рівняння Матьє втратить чинність. У цьому випадку слід брати до уваги зворотний вплив сигналу на варікап, що призведе до обмеження амплітуди коливань.
*****Для коливань, що експоненційно зростають - величина, обернена до часу зростання амплітуди в е разів.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]