.1.2 Вимушені коливання лінійного осцилятора під дією гармонічної сили.
Прикладами вимушених коливань лінійних осциляторів можуть бути коливання маятника під дією зовнішньої сили або коливання в контурі під дією зовнішньої змінної напруги (рис.1.2.1а,б). В усіх випадках наявність зовнішньої сили f(t) призводить до того, що рівняння руху (1.1.9) (або (1.1.2) для випадку консервативного осцилятора) стає неоднорідним:
(1.2.1) .
|
|
|
|
Рис.1.2.1. Приклади лінійних осциляторів, на які діють зовнішні сили: а - пружинний маятник, б - коливний контур. |
|
Перепишемо рівняння (1.2.1) у вигляді системи:
що має вигляд (В.1) (додаткову змінну 
введено для того, щоб праві частини формально не залежали від часу). Бачимо, що наявність зовнішньої сили еквівалентна додаванню половини ступеню вільності. Отже, осцилятор, на який діє зовнішня сила, являє собою систему з півтора ступенями вільності.
Проаналізуємо спочатку коливання консервативного осцилятора під дією зовнішньої гармонічної сили, що описуються рівнянням
(1.2.2) 
.
Як відомо з теорії диференціальних рівнянь, загальний розв’язок лінійного неоднорідного рівняння може бути записаний як сума загального розв’язку відповідного однорідного рівняння та частинного розв’язку неоднорідного рівняння. Називатимемо ці частини вільною і вимушеною складовою коливань:
.
Для рівняння (1.2.2), очевидно,
, 
.
Константи А і В, як і для чисто вільних коливань, знаходяться з початкових умов.
Зокрема, для нульових початкових умов (
,
) отримаємо:
, 
,
(1.2.3) 
(рис.1.2.2а). Рух системи являє собою биття двох коливань з однаковими амплітудами - вільних з частотою
та вимушених з частотою p. Оскільки згасання відсутнє, биття триватиме як завгодно довго. Період биття: T=2p/(w0- p)
.
Для інших початкових умов амплітуди вільних та вимушених коливань вже не будуть рівними, але в загальному випадку вони будуть ненульовими, тому биття збережуться.
Розглянемо тепер випадок резонансу, коли w0= p. В цьому випадку замість (1.2.3) дістанемо:
(1.2.4) 
(рис.1.2.2б). Видно, що в цьому випадку має місце необмежене лінійне за часом (секулярне) зростання амплітуди коливань.
|
|
|
|
Рис.1.2.2. Коливання лінійного консервативного осцилятора під дією гармонічної зовнішньої сили для нульових початкових умов: а - w 0 не дорінює p, б - w 0 дорівнює p. |
|
Зрозуміло, що в реальних системах секулярне зростання коливань не спостерігається. Воно обмежується за рахунок наявності дисипації або нелінійності.
1.2.4. Вплив дисипації на коливання лінійного осцилятора під дією гармонічної сили.Для лінійного осцилятора з дисипацією замість (1.2.1) одержимо:
(1.2.5) 
.
Розв’язок цього рівняння для нульових початкових умов та слабкої дисипації (d < < w
0) має вигляд:(1.2.6) 
(рис.1.2.3а,б).
Видно, що у нерезонансному випадку згасання вільної складової призводить до зникнення биття за час порядку
1/d , після чого в системі залишаються лише чисто вимушені коливання. Відзначимо, що викид амплітуди в момент часу t» p /(w 0 - p) приблизно вдвічі перевищує значення, що встановлюється при t прямує до нескінченості. . Цю обставину слід мати на увазі при розрахунках запасу міцності систем, в яких збуджуються вимушені коливання (наприклад, електричної міцності кабелю). У випадку точного резонансу лінійне зростання амплітуди з часом спостерігається лише в початкові моменти (при 
), після чого амплітуда поступово встановлюється на рівні, обернено пропорційному до параметра дисипації.
Зазначимо, що при сильній дисипації (d > w
0) биття взагалі відсутні, оскільки вільна складова коливань має аперіодичний характер.|
|
|
|
Рис.1.2.3. Коливання лінійного слабкодисипативного осцилятора під дією гармонічної зовнішньої сили для нульових початкових умов: а - |
|
| [ Назад ] | [ Зміст ] | [ Вперед ] |
б
а
б
а
б
, б - 