1.1. Вільні коливання лінійного осцилятора.

 1.1.1. Приклади лінійних осциляторів.

 а) Розглянемо математичний маятник (рис.1.1.1). Рівняння руху для нього являє собою ІІ закон Ньютона для обертового руху:

, де момент інерції , а момент сили. Після підстановки дістанемо:

(1.1.1)        ,  .

Для малих кутів відхилення (j < < 1)

(1.1.2)       .

Це - рівняння лінійного консервативного осцилятора.

 

 

 

 

Рис.1.1.1. Математичний маятник

б) Взаємодія популяцій хижак - здобич.

 Нехай в ізольованому лісі, де є вдосталь трави, живуть лише зайці. Очевидно, вони розмножуватимуться за експоненційним законом: . Якщо в тому самому лісі живуть лише вовки, їхня популяція експоненційно зменшуватиметься: .

Нехай тепер в лісі співіснують обидві популяції. Ймовірність зустрічей вовків із зайцями пропорційна до добутку N1N2. В результаті таких зустрічей чисельність зайців зменшуватиметься, чисельність вовків зростатиме. Отже, остаточно дістанемо:

(1.1.3)       

Це так звана система рівнянь Вольтерра, що описує взаємодію популяцій хижак - здобич. Вона нелінійна, отже, знайти її точний розв’язок важко.

 Знайдемо спочатку стаціонарні (такі, що не залежать від часу) розв’язки системи (1.1.3). Для цього покладемо рівними нулю похідні за часом. Отримаємо:

(1.1.4)        ;   .

Є, втім, і інший рівноважний розв’язок - . Він може реалізуватися, якщо людство й надалі не звертатиме уваги на екологічні проблеми. Розглядатимемо, однак, оптимістичний сценарій.

 Вважатимемо, що чисельність популяцій мало відрізняється від рівноважних значень (1.1.4):

(1.1.5)       ,

(1.1.6)       .

Після підстановки (1.1.5) до (1.1.3) в силу нерівності (1.1.6) можна знехтувати добутками n1* n2 (процедура лінеаризації рівнянь). Враховуючи (1.1.4), остаточно дістанемо:

(1.1.7)       

З (1.1.7) легко отримати для n1 чи для n2 рівняння вигляду (1.1.2), де

(1.1.8)       .

 В більшості реальних ситуацій у взаємодії беруть участь по кілька популяцій хижаків та здобичі, тому коливання чисельності популяцій розмиваються. Однак відомі приклади, коли при спостереженні взаємодії одиночних популяцій хижак - здобич справді спостерігалися протифазні періодичні коливання їхньої чисельності, описувані системою (1.1.7).

 в) Пружинний маятник з демпфером.

 Сила тертя для випадку сухого тертя нелінійно залежить від швидкості (рис.1.1.2а), тому аналізувати таку систему досить складно. Введемо спеціальний елемент із в’язким тертям -демпфер (рис.1.1.3), для якого у випадку малих швидкостей залежність сили тертя від швидкості можна вважати лінійною (рис.1.1.2б). Тоді рівняння руху для пружинного маятника з демпфером за другим законом Ньютона можна подати у вигляді , або

,  ,

(1.1.9)       .

Це - рівняння лінійного дисипативного осцилятора. Воно ж описує, наприклад, коливання струму в контурі, складеному з індуктивності, ємності та опору.

а

б

Рис.1.1.2. Залежність сили тертя від швидкості: а -сухе тертя, б - в’язке тертя.

 

 

Рис.1.1.3. Пружинний маятник з демпфером

1.1.2. Розв’язок рівняння лінійного дисипативного осцилятора.

Рівняння (1.1.9) легко переписати у вигляді системи двох диференціальних рівнянь першого порядку (у фазових змінних):

(1.1.10)       

 Порівнюючи (1.1.10) з (В.1), бачимо, що рівняння (1.1.9) описує систему з одним ступенем вільності.

Загальний розв’язок рівняння (1.1.9) добре відомий:

(1.1.11)       

Довільні константи А,В (або А', В') визначаються з початкових умов. Зокрема для початкових умов , дістанемо:

; ; ; .

Залежності (1.1.10) для цього випадку подані на рис.1.1.4.

а

б

Рис.1.1.4. Вільні коливання лінійного дисипативного осцилятора для випадків w > d (а) та w < d (б).
1.1.3. Рівняння консервативного осцилятора.

 Повернемося до точного рівняння для математичного маятника (1.1.1). перепишемо його другий доданок - нелінійну силу, що повертає систему до положення рівноваги - у вигляді . Формально можна вважати, що частота коливань тепер є функцією координати. Отже, узагальненням (1.1.1) на випадок довільної нелінійної сили є рівняння

(1.1.12)       .

Покажемо, що воно відповідає консервативній системі. Для цього домножимо (1.1.12) на і проінтегруємо за часом. Дістанемо:

(1.1.13)       ,

(1.1.14)       .

Тут враховано, що

,  

(ми скористалися тут формулою для похідної від складної функції, ).

В рівнянні (1.1.13) для маятника перший доданок відповідає кінетичній енергії, другий - потенціальній (потенціал (1.1.14) - це робота проти нелінійної сили, що витрачається на виведення системи із стану рівноваги)*. Тоді константа в правій частині (1.1.13) відповідає, очевидно, повній енергії системи, а саме це співвідношення виражає закон збереження енергії.

Взагалі, якщо рівняння руху деякої системи містить лише похідні парних порядків, відповідна система є консервативною, бо зміна знаку часу (заміна t на -t) не впливає на її поведінку. Навпаки, якщо в рівнянні руху присутні похідні непарних порядків, то система не є консервативною (вона може бути дисипативною або / та відкритою, див. рівняння (1.1.9)).

* У випадку коливного контуру з варікапом перший доданок відповідає енергії магнітного поля в котушці індуктивності, другий - енергії електричного поля в конденсаторі.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]