Вступ

В.1. Предмет теорії коливань і хвиль.

Під коливаннями звичайно розуміють рух, що періодично повторюється. Коливання, що поширюються в просторі, називають хвилями.

З курсу загальної фізики відомо, що коливання ряду простих систем (механічний маятник, коливний контур та ін.) описуються однаковими рівняннями. Виявляється, що таке саме становище має місце і для більш складних коливних систем (нелінійні та параметричні осцилятори, автогенератори), а також для систем з розподіленими параметрами, в яких можуть мати місце хвильові процеси.

Предметом курсу “Коливання і хвилі” і є вивчення спільних рис коливань і хвиль різної природи. Причому в коло досліджуваних явищ включається не тільки різні області фізики, а й хімія, біологія, екологія та ін.

Системи, в яких можливі коливання називають динамічними. Точніше, динамічні системи - це системи, описані набором рівнянь вигляду

(В.1)        ,.

Говорять, що така система має n/2 ступенів вільності.

В.2. Класифікація коливних систем.

В основу класифікації коливних систем можна покласти різні ознаки. Відповідно отримаємо різні варіанти класифікації.

В.2.1.Класифікація за кількістю ступенів вільності.

За кількістю ступенів вільності коливні системи можна розділити на

• системи з одним ступенем вільності;
• системи з багатьма ступенями вільності;
• системи з нескінченною кількістю ступенів вільності (з розподіленими параметрами).

 Разом із системами з одним ступенем вільності ми розглядатимемо й системи з півтора ступенями вільності.

При переході від однієї (чи півтора) до двох ступенів вільності з’являється нова якість - обмін енергії між ступенями вільності. При подальшому збільшенні числа ступенів нова якість не виникає. Тому системи з багатьма ступенями вільності виділяють в окрему групу.

В системах з розподіленими параметрами з’являється можливість поширення хвиль. Такі системи описуються диференційними рівняннями в частинних похідних.

Саме класифікація за числом ступенів вільності покладена в основу цього лекційного курсу.

В залежності від того, чи зберігається повна енергія систем, їх ділять на консервативні та дисипативні.

Якщо система, яку ми розглядаємо, не взаємодіє з іншими системами, її називають автономною, в протилежному випадку - неавтономною.

Якщо система не обмінюється речовиною та енергією з іншими системами, її називають замкненою, в протилежному випадку - відкритою. Ця класифікація близька до попередньої.

Якщо система має деякий запас енергії (потенціальної, кінетичної, хімічної та ін.), яка може піти на збудження коливань та їх підтримання протягом тривалого часу, такі системи називають нерівноважними. В протилежному випадку говорять про рівноважні системи.

Параметри системи можуть залежати від її руху. Наприклад, в коливному контурі з варікапом ємність буде визначатись миттєвою напругою на варікапі. Такі системи називають нелінійними. Вони описуються нелінійними диференціальними рівняннями.

Якщо ж параметри системи не залежать від її руху, систему називають лінійною. Такі системи описуються лінійними диференціальними рівняннями з постійними коефіцієнтами.

В межах цієї ж класифікації виділяють ще параметричні та автоколивні системи.

Параметричними називають системи, у яких якийсь параметр змінюється за наперед заданим законом під дією зовнішньої сили, незалежно від руху самої системи. Параметричні системи описуються лінійними диференційними рівняннями зі змінними коефіцієнтами. Ми покажемо, що параметричні системи - це різновид нелінійних неавтономних систем. Відомий приклад параметричних систем - маятник із змінною довжиною підвісу (гойдалка).

Автоколивні системи - це системи, в яких за відсутності зовнішнього періодичного впливу можуть виникати і встановлюватись періодичні коливання. Властивості цих коливань мало залежать від початкових умов і визначаються властивостями самої системи. Приклади автоколивних систем - механічний годинник, різноманітні автогенератори синусоїдних та несинусоїдних коливань та ін.

Автоколивні системи також описуються нелінійними диференціальними рівняннями.

Наприкінці зазначимо, що запропонована класифікація стосується не стільки реальних коливних систем, скільки їхніх моделей.

Наприклад, розглянемо коливання маси на підвісі. Якщо ми спостерігаємо один-два періоди коливань, систему можна вважати консервативною; на протязі більш тривалого часу істотним стає згасання. Якщо ми розглядаємо малі відхилення від положення рівноваги, систему можна вважати лінійною; для великих відхилень стає істотною нелінійність. Якщо рух маси відбувається у деякій вертикальній площині, можна вважати, що система має один ступінь вільності. Якщо початкова швидкість маси не лежить у площині відхилення від положення рівноваги, можна говорити про два (або навіть три, коли взяти до уваги, що підвіс може розтягатися) ступені вільності. Якщо ж розглядати поперечні коливання підвісу, слід користуватися моделлю системи з розподіленими параметрами.

Отже, реальні системи, як правило, нелінійні, неавтономні, дисипативні і мають нескінчене число ступенів вільності.