а) Розглянемо одновимірні коливання пружної струни. Будемо позначати через відхилення струни в точці х у момент часу t (рис.3.1.1).

 Рівняння руху для ділянки струни завдовжки між точками х та згідно другого закону Ньютона можна записати у вигляді

(3.1.1)       ,   

де масу ділянки струни можна подати через лінійну масову густину r ,

(3.1.2)       .     

 Оскільки натяг струни Т однаковий у будь-якій її точці, то F₁ = F₂ = T.

 Вважаючи кути малими, запишемо:

(3.1.3)       .    

(3.1.4)       .

Підставивши (3.1.2) та (3.1.4) до (3.1.1), остаточно отримаємо:

(3.1.5)       ,    

де . Рівняння (3.1.5) - це найпростіше одновимірне хвильове рівняння.

(3.1.7)        ; ; ;      

(величини називаються погонними параметрами лінії - погонна індуктивність, погонна ємність та ін.). Вважаючи довжину відрізка D х малою, можна записати:

(3.1.8)       ,  .  

Підставляючи (3.1.7) та (3.1.8) до системи (3.1.6), дістанемо так звані телеграфні рівняння:

(3.1.9)       ;    

                  .

Систему (3.1.9) легко звести до одного рівняння, виключивши, наприклад, струм:

(3.1.10)        

(враховано, що втрати в лінії звичайно є малими, тому доданком другого порядку мализни, пропорційним , нехтуємо). При , рівняння (3.1.10) набуває вигляду (3.1.5), де (легко переконатися, що ця величина має розмірність швидкості).

 в) Перші два рівняння Максвела у вакуумі за відсутності сторонніх зарядів і струмів записуються у формі:

(3.1.11)       ;  . 

Взявши ротор від першого рівняння (3.1.11), виключимо електричне поле з його правої частини за допомогою другого рівняння (3.1.11). Отримаємо:

(3.1.12)       ,  

де враховано відому тотожність

.

 Оскільки у вакуумі, згідно з рівняннями Максвела,

(3.1.13)       ,     

остаточно отримуємо:

(3.1.14)        .   

Таке саме рівняння можна отримати і для електричного поля.

 Рівняння (3.1.14) - це векторне хвильове рівняння для тривимірних хвиль. Проектуючи його на осі координат, можна отримати скалярні хвильові рівняння у тривимірному просторі.

 Слід підкреслити, що (3.1.5) та (3.1.14) - це найпростіші приклади хвильових рівнянь. Для більшості реальних систем вигляд хвильових рівнянь ускладнюється. Наприклад, для електромагнітних хвиль в ізотропній плазмі замість (3.1.14) можна отримати:

(3.1.15)        ,  

де - електронна плазмова частота, п - концентрація електронів плазми.

 Нагадаємо, що загальний розв’язок рівняння в частинних похідних записується через довільні функції, кількість яких має дорівнювати порядку рівняння. Для найпростішого хвильового рівняння (3.1.5) він, як можна переконатися шляхом безпосередньої підстановки, має вигляд

(3.1.16)       ,  

де - довільні функції. Перша з них описує хвилю незмінної форми, що поширюється зі швидкістю с в додатному напрямку осі х, друга - подібну хвилю, що біжить у протилежному напрямку.

 Однак на практиці для лінійних систем, до яких застосовні принцип суперпозиції і перетворення Фур’є, звичайно записують розв’язок хвильового рівняння у вигляді гармонічних хвиль:

(3.1.17)       ,   

де w - частота хвилі, k - її хвильове число (довжина хвилі - ). Підставивши розв’язок (3.1.16) до хвильового рівняння, отримуємо дисперсійне співвідношення, що пов’язує між собою частоту та хвильове число. Для найпростішого хвильового рівняння (3.1.5) воно має вигляд:

(3.1.18)       ,     

або               .

,

звідки

(3.1.19)        .   

 Для найпростішого дисперсійного співвідношення (3.1.18) буде .

Для складнішого хвильового рівняння (3.1.15), узявши розв’язок у вигляді плоскої хвилі,

(3.1.20)        ,  

де - хвильовий вектор, отримаємо:

(3.1.21)       .  

Врахувавши формулу для подвійного векторного добутку

і обмежившись випадком поперечних хвиль, для яких , остаточно дістанемо дисперсійне співвідношення у формі:

 Дисперсійне рівняння можна розв’язувати щодо частоти, знаходячи в результаті функцію , або щодо хвильового числа (хвильового вектора), знаходячи функцію . Перший варіант розв’язку описує поведінку в часі нескінченно довгого гармонічного початкового збурення з довжиною хвилі , другий - еволюцію в просторі гармонічного сигналу з частотою , що збуджується деяким локальним джерелом. У першому випадку говорять про початкову задачу, в другому - про граничну.

 Якщо початкове збурення є обмеженим у просторі, для аналізу часової еволюції його слід розкласти в інтеграл Фур’є за координатою, прослідкувати за часовою еволюцією кожної з гармонічних складових і результати підсумувати. Аналогічно для аналізу просторової еволюції сигналу обмеженої тривалості слід скористатися розкладом в інтеграл Фур’є за часом.

 Чисто гармонічна, тобто нескінчена в часі і просторі хвиля вигляду (3.1.17) або (3.1.20) - це, зрозуміло, ідеалізація. В реальності ми завжди маємо справу з хвильовими пакетами, що мають скінчену тривалість і протяжність. Оскільки різні спектральні складові хвильового пакету в середовищі з дисперсією матимуть відмінні швидкості, можна чекати, що форма хвильового пакету повинна змінюватися в процесі його поширення.

 Нехай закон дисперсії довгої лінії (рис.3.2а) має вигляд , а сигнал на початку лінії має вигляд радіоімпульсу скінченої тривалості:

(3.1.24)        ,  

де - повільно змінювана амплітуда (, ). Відбиття вважатимемо відсутнім.

Розрахуємо вигляд сигналу в довільному перерізі лінії.

Якби замість пакету ми мали монохроматичну хвилю (), можна було б відразу записати:

,  .

(3.1.25)       

                    .

Для того, щоб отримати сигнал у довільному перерізі лінії, додамо до фаз експонент з частотами відповідні просторові набіги фаз:

(3.1.26)       .

 Врахуємо тепер, що в силу повільної зміни обвідної радіоімпульсу (3.1.24) її спектр відмінний від нуля лише при . Отже, реально інтегрування в (3.1.26) виконується лише в деякому інтервалі частот, вузькому в масштабі . Це дозволяє нам розкласти функцію в ряд Тейлора, обмежившись лінійним доданком за :

(3.1.27)       .   

Очевидно, така операція буде законною при не дуже великих х, доки внесок доданків вищих порядків у фазу буде неістотним. Підставляючи (3.1.27) до (3.1.26), отримаємо:

(3.1.28)       

                  .  

 Видно, що в обраному наближенні хвильовий пакет поширюється без зміни форми, але його поширення характеризується двома швидкостями. Заповнення пакету, як і раніше, поширюється з фазовою швидкістю (3.1.19). Обвідна ж поширюється зі швидкістю

(3.1.29)        -     

так званою груповою швидкістю. Очевидно, саме групова швидкість характеризує перенесення енергії хвильовим пакетом, тому вона не може перевищувати за величиною швидкість світла у вакуумі. Величина фазової швидкості може бути якою завгодно.

 Геометрично групова швидкість хвилі - це тангенс кута нахилу дотичної до дисперсійної кривої у даній точці (рис.3.1.4).

 На закінчення відзначимо, що врахування відкинутих доданків вищих порядків у ряду Тейлора (3.1.27) буде призводити до розпливання хвильового пакету на великих віддалях від початку лінії.

 В залежності від того, зменшується чи збільшується фазова швидкість хвиль із зростанням їхньої частоти, в класичній оптиці говорять відповідно про нормальну (більш поширену) та аномальну дисперсію хвиль. Нормальною дисперсією характеризуються, наприклад, згадані вище електромагнітні хвилі в ізотропній плазмі, моди циліндричного чи прямокутного хвилеводу з провідними стінками (рис.3.1.4а), поверхневі хвилі на межі вакуум - ізотропна плазма, фононна гілка коливань твердого тіла (рис.3.1.4б). Аномальною дисперсією характеризуються, наприклад, свистові хвилі (вістлери) - різновид низькочастотних хвиль плазми в слабкому магнітному полі, що часто збуджуються в іоносфері (рис.3.1.4в).

 В залежності від знаку добутку фазової та групової швидкостей говорять про додатну () та від’ємну () дисперсію. Всі перелічені вище хвилі (рис.3.1.4а-в) мають додатну дисперсію. Прикладом хвиль з від’ємною дисперсією можуть бути фотонна гілка коливань твердого тіла або верхньогібридні хвилі плазми в магнітному полі (рис.3.3г). Для хвиль з від’ємною дисперсією (або, як кажуть, зворотних хвиль) напрямок перенесення енергії протилежний до напрямку руху фронту.

 Розглянемо модельну ланцюжкову систему, складену з однакових мас m на підвісах завдовжки l, сполучених пружинами з жорсткістю k (рис.3.1.5). Рівняння руху п-ї маси ( - відповідний кут відхилення) можна записати у формі

(3.1.30)        

(перший доданок у правій частині враховує дію сили тяжіння, два інші - дію двох пружин, зміна довжини яких буде відповідно та ). Позначивши

(3.1.31)        , ,  

перепишемо (3.1.30) у вигляді

(3.1.32)       . 

Підставивши розв’язок у вигляді гармонічної хвилі,

(3.1.33)          

( - дискретна координата), можна отримати дисперсійне співвідношення для хвиль в аналізованій системі:

(3.1.34)       .   

а) Нехай (або ). Тоді замість (3.1.34) можна записати:

(3.1.35)       .    

Графік відповідної залежності поданий на рис.3.1.6а. Видно, що дисперсія зникає, коли виконано умову (дисперсійна крива зливається з асимптотою - прямою, що проходить через початок відліку, - на якій фазова швидкість стає константою). Навпаки, дисперсія істотна, доки - доки частота хвилі залишається сумірною з власною частотою системи . Таким чином, в даному випадку причиною існування дисперсії виступає наявність власної частоти у аналізованої системи. Такий тип дисперсії прийнято називати часовою.

б) Нехай тепер , так що співвідношення (3.1.34) набирає вигляду

(3.1.36)       .    

 Відповідну дисперсійну криву наведено на рис.3.1.6б. Тепер дисперсія зникає, коли (або ), і виявляється істотною при , тобто коли довжина однієї ланки аналізованої системи сумірна з довжиною хвилі. Можна зробити висновок, що в цьому разі причиною дисперсії є наявність у системі характерної довжини (конкретно - довжини ланки). Маємо справу з просторовою дисперсією.

 Як відомо, дисперсія електромагнітних хвиль у деякому середовищі визначається його діелектричною та магнітною проникністю. Розглянемо, як визначаються ці величини в електродинаміці суцільних середовищ, на прикладі діелектричної проникності, що пов’язує між собою напруженість та індукцію електричного поля. Для простоти вважатимемо середовище ізотропним, тоді діелектрична проникність буде скаляром.

Нелокальність у просторі обумовлена наявністю далекого порядку (в твердому тілі) чи процесами перенесення (в плазмі). В цьому випадку можна говорити про те, що середовище характеризується деяким характерним розміром (постійною гратки в кристалі, дебаївським радіусом у плазмі).

В межах лінійної теорії феноменологічний зв’язок між цими величинами записується у вигляді інтегралу:

(3.1.37)        

(). Для однорідних стаціонарних середовищ можна вважати, що “передавальна функція” насправді залежить тільки від проміжку часу між моментами “впливу” та спостереження, а також від віддалі між точками “впливу” та спостереження:

(3.1.38)       .  

 Розкладемо напруженість поля в інтеграл Фур’є за часом та просторовими змінними:

(3.1.39)       , 

де

(3.1.40)       ,  . 

Тоді для спектру індукції можна записати:

(3.1.41)       .   

Замінивши у внутрішньому інтегралі в (3.1.41) змінні інтегрування,

(3.1.42)       ,  ,  

перепишемо цей вираз у формі

(3.1.43)          

                  ,

де

(3.1.44)        

діелектрична проникність для хвилі з частотою w та хвильовим вектором .

Як випливає з наведеного розрахунку, залежність e (так само і m ) від w пов’язана з “пам’яттю” середовища, тобто існуванням у нього власних частот. Вона відповідає часовій дисперсії. Залежність цих величин від обумовлена просторовою нелокальністю і відповідає просторовій дисперсії.