Рис.3.2.1. Зв’язані довгі лінії.
Розглянемо дві паралельні довгі лінії, що розташовані на малій відділі (рис.3.2.1). Оскільки електромагнітне поле, створене зарядами та струмами першої лінії, буде відмінним від нуля в області, де розташована друга лінія, і навпаки, між лініями існуватиме індуктивний та ємнісний зв’язок. Для опису хвиль у такій системі телеграфні рівняння треба доповнити доданками, що враховують взаємну індуктивність та ємність між лініями:
|
Рис.3.2.1. Зв’язані довгі лінії. |
|
(3.2.1) 
; 
;
; 
.
Тут
L1,2 та C1,2 - погонні параметри першої та другої ліній, M' та C' - погонні параметри зв’язку (вважатимемо, що
, 
).
Розв’язок системи (3.2.1) будемо шукати у вигляді хвилі, тобто всі величини вважатимемо пропорційними
. Отримаємо:
(3.2.2) 
; 
;
; 
.
Виключаючи з (3.2.2) струми і відкидаючи доданки другого порядку мализни, дістанемо:
(3.2.3) 
; (3.2.3)
.
Введемо парціальні хвильові числа
та коефіцієнти зв’язку 
. Тоді дисперсійне рівняння, яке можна отримати з (3.2.3), набуде вигляду:
(3.2.4) 
.
Його розв’язки:
(3.2.5) 
.
У найпростішому випадку, коли лінії однакові (
, 
, 
, 
) отримуємо:
(3.2.6) 
.
Подібно до того, як зв’язок між осциляторами приводив до розштовхування власних частот, зв’язок між хвилями приводить до розштовхування дисперсійних кривих. Зокрема, для ідентичних ліній відбувається розщеплення дисперсійної кривої на дві (рис.3.2.2а). Як і у випадку зв’язаних осциляторів, розщеплення дисперсійних кривих є наслідком періодичного (в просторі) обміну енергії між лініями.
Справді, у зв’язаних ідентичних довгих лініях генератор монохроматичного сигналу збуджуватиме на одній частоті хвилі з двома відмінними значеннями хвильового числа, в результаті чого в лініях спостерігатиметься биття (рис.3.2.2б). Фізично це биття обумовлене обміном енергією між лініями внаслідок існування між ними зв’язку.
Обмін енергією між лініями в просторі лежить в основі роботи спрямованого відгалужувача (рис.3.2.3). На вході лінії 1 увімкнене джерело сигналу, вхід лінії 2 замкнений накоротко. На ділянці завдовжки
лінії зближені, і між ними існує зв’язок. На цій ділянці внаслідок обміну енергією між лініями весь сигнал з лінії 1 перейде в лінію 2. Далі віддаль між лініями зростає, зв’язок між ними зникає, тому сигнал так і залишиться в лінії 2.
Розглянемо нескінченно довгу ланцюжкову систему, показану на рис.3.2.4. При 
вона розпадається на два ізольовані ланцюжки індуктивно зв’язаних контурів, тому її можна розглядати як модель зв’язаних ліній.
Рівняння за ІІ законом Кірхгофа для п-ї ланки мають вигляд:
(3.2.7) 
;
.
|
Рис.3.2.4. Зв’язані ланцюжки з однаковими знаками дисперсії; Сс - ємність зв’язку. |
|
Стандартна підстановка розв’язку типу (3.1.33) у вигляді гармонічної хвилі, що біжить уздовж ланцюжка,
(3.2.8) 
, 
,
перетворює (3.2.7) на систему однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь:
;
(3.2.9) 
,
де позначено
(3.2.10) 
, 
, 
.
Прирівнюючи визначник системи (3.2.9) до нуля, отримаємо дисперсійне рівняння:
(3.2.11) 
.
Це біквадратне рівняння щодо частоти, отже, воно допускає аналітичний розв’язок.
За відсутності зв’язку між лініями, коли
і 
, рівняння (3.2.11) перетворюється на добуток двох дисперсійних рівнянь для кожної окремої системи індуктивно зв’язаних контурів. Відповідні формули для дисперсійних кривих набувають вигляду
(3.2.12) 
.
При відповідному підборі параметрів ці криві перетинаються (рис.3.2.5а) у так званих точках синхронізму, де
, або
(3.2.13) 
,
і хвилі в лініях мають однакову фазову швидкість.
За наявності зв’язку розв’язки дисперсійного рівняння (3.2.11) мають вигляд:
(3.2.14) 
,
.
Перший доданок у виразі для дискримінанта в точці синхронізму (3.2.13) перетворюється в нуль. Другий доданок пропорційний параметру зв’язку
. Тому далеко від точки синхронізму, де
(3.2.15) 
,
наявність зв’язку практично не впливає на вигляд дисперсійних кривих, і
. Навпаки, в околі точки синхронізму
(3.2.16) 
,
тому в цій області має місце вже знайомий нам ефект розштовхування дисперсійних кривих:
(3.2.17) 
(рис.3.2.5б). Як і у випадку зв’язку між лініями без дисперсії, в лініях матиме місце періодичний у просторі обмін енергією між лініями. Цим і обумовлюється формальне існування двох різних значень хвильового числа, що виникають у точці синхронізму внаслідок появи зв’язку.
|
|
|
|
Рис.3.2.5. Дисперсійні криві для зв’язаних ланцюжків, поданих на рис.3.2.4, за відсутності зв’язку (а) та за наявності слабкого зв’язку (б). |
|
Розштовхування дисперсійних кривих, що призводить до періодичного в просторі обміну енергією між хвилями - це ефект, який завжди виникає за наявності зв’язку між хвилями з однаковим знаком дисперсії.
3.2.3. Зв’язок між хвилями з протилежними знаками дисперсії. Ефекти, обумовлені зв’язком між хвилями з протилежним знаком дисперсії, також проаналізуємо на прикладі ланцюжкової системи (рис.3.2.6). Як і в попередньому випадку, при вона розпадається на два ізольовані ланцюжки.
|
Рис.3.2.6. Зв’язані ланцюжки з протилежними знаками дисперсії; Сс - ємність зв’язку. |
|
Запишемо рівняння для п-ї ланки за другим законом Кірхгофа:
(3.2.18) 
;
.
Підставивши розв’язок у формі (3.2.8), можна отримати дисперсійне рівняння у формі
(3.2.19) 
,
де позначено
(3.2.20) 
, 
, 
, 
За відсутності зв’язку, коли
і 
, дисперсійне рівняння (3.2.19) розбивається на два окремі рівняння:
(3.2.21) 
, 
.
При відповідному підборі параметрів дисперсійні криві в цьому випадку перетинаються (рис.3.2.7а) в точках синхронізму
(3.2.22) 
.
За наявності зв’язку розв’язки дисперсійного рівняння (3.2.19) мають вигляд
(3.2.23) 
.
Як і в попередньому випадку, далеко від точки синхронізму розв’язки (3.2.23) зводяться до розв’язків (3.2.21) без зв’язку. В околі точки синхронізму, де
(3.2.24) 
,
знову отримуємо ефект розштовхування дисперсійних кривих:
(3.2.25) 
(рис.3.2.7б). В околі частоти, яка відповідала точці синхронізму, тепер утворюється смуга непропускання по частоті завширшки
(3.2.26) 
.
За наявності зв’язку між хвилями з протилежним знаком дисперсії завжди з’являється непропускання в деякому діапазоні частот. Справді, нехай на початку однієї із зв’язаних ліній стоїть деякий генератор (рис.3.2.8). Тоді в цій лінії потік енергії спрямовується від генератора. Внаслідок зв’язку на деякій віддалі від початку системи вся енергія перейде в другу лінію. Але в цій лінії знак дисперсії - протилежний
, тобто при даному значенні хвильового вектора потік енергії спрямований назад до входу (розподілене відбиття хвилі). В результаті сигнал уздовж системи не поширюється - маємо непропускання.|
|
б |
|
Рис.3.2.7. Дисперсійні криві для зв’язаних ланцюжків, поданих на рис.3.2.6, за відсутності зв’язку (а) та за наявності слабкого зв’язку (б). |
|
|
Рис.3.2.8. Схема розподіленого відбиття хвилі у зв’язаних лініях з протилежними знаками дисперсії. |
|
| [ Назад ] | [ Зміст ] | [ Вперед ] |
а
б
).
а
б
а
