3.3. Зв’язані хвилі у відкритих (нерівноважних) системах.

 У відкритих (нерівноважних) системах, крім звичайних хвиль з додатною енергією, можуть існувати також хвилі з від’ємною енергією, збудження яких приводить до зменшення повної енергії системи. Зв’язок таких хвиль з від’ємною енергією та хвиль з додатною енергією буде, як і в пасивних системах, викликати обмін енергією між хвилями. Якщо при такому обміні енергія переходитиме від хвилі з від’ємною енергією до хвилі з додатною енергією, то амплітуди обох хвиль в результаті зростатимуть, тобто в системі розвиватиметься нестійкість.

 Розглянемо це питання більш детально на прикладі так званого двопучкової лампи.

3.3.1. Дисперсійне рівняння для хвиль у двопучковому підсилювачі.

 Двопучкова лампа являє собою систему з двох електронних пучків з різними швидкостями (і густинами), що рухаються поруч (рис.3.3.1). Система вміщується в сильне поздовжнє магнітне поле, що утримує пучки від розбухання і придушує поперечний рух електронів. Оскільки пучки знаходяться близько один від одного, можна вважати, що електричне поле в них є однаковим.

 

Рис.3.3.1. Схема двопучкової лампи: 1, 2 - електронні гармати, 3, 4 - колектори.

 Для аналізу процесів у двопучковій лампі скористаємося системою, що включає рівняння руху для електронів та рівняння неперервності для кожного з пучків, а також теорему Гауса для електричного поля. Постійну складову об’ємного заряду електронних пучків вважатимемо скомпенсованим позитивними іонами, що виникають внаслідок часткової іонізації залишкового газу в лампі. Модель вважатимемо одновимірною (швидкість електронів спрямована вздовж осі z), нехтуючи крайовими ефектами на межах пучків (фактично розглядаємо два безмежні електронні потоки, що рухаються в тій самій області простору). Тоді вихідні рівняння набувають вигляду:

(3.3.1)       ;  ;

                  ;  ;  ,

де , , та - відповідно постійна та змінна складові швидкостей пучків, та - відповідно постійна та змінна складові густин заряду пучків (у рівняннях (3.3.1) враховано, що електрони мають від’ємний заряд, так що ).

Розглядатимемо хвилі малої амплітуди, для яких виконано умови

(3.3.2)       ,  .  

Тоді, лінеарізуючи (3.3.1) за малими змінними складовими та і виключаючи електричне поле та швидкість електронів, можна отримати систему зв’язаних хвильових рівнянь:

(3.3.3)       ; 

                  , .

 Підставляючи до системи (3.3.3) розв’язок у вигляді плоских хвиль,

(3.3.4)       ,   

і прирівнюючи до нуля визначник отриманої системи однорідних лінійних алгебраїчних рівнянь щодо амплітуд , можна отримати дисперсійне рівняння для хвиль малої амплітуди в досліджуваній системі:

(3.3.5)        .    

 За відсутності зв’язку між пучками замість (3.3.5) можна отримати співвідношення

(3.3.6)       , 

що зводиться до дисперсійних співвідношень для двох пар звичайних хвиль просторового заряду.

Будемо аналізувати дисперсійне рівняння (3.3.5) окремо для випадків зустрічних та супутніх пучків.

3.3.2. Генератор на зустрічних пучках.

 Нехай у двопучковій лампі пучки мають однакові густини, а їхні швидкості однакові за величиною і протилежні за напрямком:

(3.3.7)       , . 

Тоді дисперсійне рівняння (3.3.5) набуває вигляду:

(3.3.8)       .  

Оскільки рівняння (3.3.8) є біквадратним щодо , частоти власних хвиль можна записати через хвильові числа у формі

(3.3.9)       .

 З (3.3.9) видно, що частота буде чисто уявною () за умови, коли другий доданок під коренем в (3.3.9) буде від’ємним, тобто

(3.3.10)       .     

За виконання умови (3.3.10) одне з пари чисто уявних значень частоти відповідатиме періодичному в просторі збуренню, амплітуда якого експоненційно зростає з часом (так звана аперіодична нестійкість).

На рис.3.3.2а подано графіки дисперсійних залежностей для швидкої та повільної хвиль просторового заряду зустрічних електронних пучків без урахування їхньої взаємодії. Як відомо, взаємодія хвиль є найбільш ефективною в околі точок синхронізму, де частоти і хвильові числа хвиль, що взаємодіють, збігаються. В даному випадку в точці а можна чекати взаємодії двох швидких ХПЗ (з додатною енергією та протилежними напрямками групової швидкості), а в точках в та в’ - взаємодії швидкої ХПЗ (з додатною енергією) та повільної ХПЗ (з від’ємною енергією), що також мають протилежні за напрямком групові швидкості.

а

б

Рис.3.3.2: а - дисперсійні залежності для хвиль просторового заряду зустрічних пучків, що не взаємодіють (1 - повільні ХПЗ, 2 - швидкі ХПЗ); б - дисперсійні криві для хвиль просторового заряду в зустрічних пучках, що взаємодіють (1 - дійсна частина частоти, 2 - уявна частина частоти).

 Дисперсійні криві для хвиль в зустрічних електронних пучках з урахуванням їхньої взаємодії подані на рис.3.3.2б. Взаємодія двох хвиль з однаковим знаком енергії та протилежними знаками групових швидкостей привела до утворення смуги непропускання за частотою (пор. п.3.2.3). Взаємодія ж хвиль з різними знаками енергії може призвести до передачі енергії від хвилі з від’ємною до хвилі з додатною енергією, в результаті чого амплітуди обох хвиль будуть зростати. Це і є механізм розвитку нестійкості.

 В аналізованій системі має місце розподілений зворотний зв’язок. Справді, оскільки пучки мають протилежні за знаком групові швидкості, енергія сигналу весь час повертатиметься в область виникнення нестійкості, забезпечуючи там експоненційне зростання амплітуди початкового збурення.

 Зазначимо, що описувана нестійкість буде аперіодичною лише у випадку однакових швидкостей зустрічних пучків. Якщо зустрічні пучки мають різні швидкості, можна перейти в деяку рухому систему відліку, в якій вказані швидкості стануть однаковими за величиною, і нестійкість (як показано вище) буде аперіодичною. Але в нерухомій системі відліку вона сприйматиметься як періодична в часі. Дисперсійні криві для цього випадку подані на рис.3.3.3.

 Отже, лампа на зустрічних пучках може служити генератором електромагнітних коливань. Справді, первісно немодульовані електронні пучки після взаємодії перетворюватимуться в модульовані.

а

б

Рис.3.3.3. Дисперсійні залежності для хвиль просторового заряду зустрічних пучків з відмінними швидкостями (а, б - відповідно дійсна та уявна частини частоти).

 Якісно такий самий результат взаємодії хвиль можна отримати, взявши замість швидкої ХПЗ зустрічного пучка іншу хвилю з додатною енергією та від’ємною дисперсією, що може взаємодіяти з електронним пучком - наприклад, електромагнітну хвилю сповільнюючої структури (рис.3.3.4). В результаті отримаємо так звану лампу зворотної хвилі (ЛЗХ) - поширений тип генератора електромагнітних хвиль НВЧ діапазону.

 

 

а

б

Рис.3.3.4: а - схема лампи зворотної хвилі (ЛЗХ): 1 - електронна гармата, 2 - електронний пучок, 3 - сповільнююча структура, 4 - колектор, 5 - вихідна спіраль; б - спотворення дисперсійних залежностей зворотної повільної електромагнітної хвилі (1) та повільної хвилі просторового заряду (2) внаслідок їхньої взаємодії.

3.3.3. Двопучковий підсилювач.

 Розглянемо тепер випадок двох однакових пучків, що рухаються в одному напрямку, але з різними швидкостями:

(3.3.11)        , , .

Дисперсійне рівняння (3.3.5) при цьому може бути подане у вигляді:

(3.3.12)       .

 Очевидно, цей випадок може бути отриманий з попереднього (див. рівняння (3.3.8)) шляхом переходу в деяку систему відліку, що рухається паралельно пучкам зі швидкістю, що перевищує .

 На графіку дисперсійних залежностей хвиль просторового заряду супутніх електронних пучків без урахування їхньої взаємодії (рис.3.3.5а) видно, що синхронізм можливий або між двома швидкими ХПЗ з додатною енергією (точки a та a’), або між швидкою та повільною ХПЗ з протилежними знаками енергії (точки b та b’). У першому випадку взаємодія хвиль приведе до періодичного обміну енергією, у другому - до розвитку нестійкості (рис.3.3.5б). Але, оскільки обидві хвилі мають однакові за знаком групові швидкості, зростаючий сигнал буде зноситись уздовж системи з деякою швидкістю. В результаті зростання коливань відбуватиметься вже не в часі, а в просторі. Формально цьому випадку відповідатимуть комплексні значення хвильового числа в деякому діапазоні частот (рис.3.3.5в).

а

б

 

Рис.3.3.5: а - дисперсійні залежності для хвиль просторового заряду зустрічних пучків, що не взаємодіють (1 - повільні ХПЗ, 2 - швидкі ХПЗ); б - дисперсійні криві для хвиль просторового заряду в зустрічних пучках, що взаємодіють; в - залежність дійсної та умовної частин хвильового числа (показані відповідно суцільними та штриховими лініями) від частоти.

в

 

 

а

б

Рис.3.3.6: а - схема лампи біжучої хвилі (ЛБХ): 1 - електронна гармата, 2 - електронний пучок, 3 - сповільнююча структура, 4 - колектор, 5 - вхідна спіраль, 6 - вихідна спіраль; б - спотворення дисперсійних залежностей прямої повільної електромагнітної хвилі (1) та повільної хвилі просторового заряду (2) внаслідок їхньої взаємодії.

 Таким чином, двопучкова лампа із супутніми пучками може служити підсилювачем електромагнітних коливань. Справді, якщо ми один з пучків на вході лампи будемо модулювати за швидкістю, збуджуючи в ньому хвилі просторового заряду, на виході така модуляція буде підсилюватись.

 Як і в попередньому випадку, замість швидкої ХПЗ можна взяти повільну (на цей раз - пряму) електромагнітну хвилю сповільнюючої структури (рис.3.3.6). Побудований таким чином підсилювач дістав назву лампи біжучої хвилі (ЛБХ). Це один з найпоширеніших активних приладів НВЧ діапазону.

 Зрозуміло, що отримані вище результати для двопучкової лампи залишаються справедливими лише за виконання умови (3.3.2), тобто для лінійної стадії розвитку нестійкості. Реально зростання амплітуди хвилі в подібних системах, як правило, обмежується деякими нелінійними ефектами.

3.3.4. Абсолютна, конвективна та осциляторна нестійкість.

 Як видно з розглянутих прикладів, у системах із розподіленими параметрами може існувати два якісно відмінних типи нестійкості (мова йде про поздовжньо однорідні системи).

 У генераторі на зустрічних пучках та в лампі зворотної хвилі коливання з часом зростають у кожній точці простору (рис.3.3.7а). Це пов’язано з наявністю в системі розподіленого зворотного зв’язку, в результаті чого сигнал весь час повертається в область взаємодії. Така нестійкість називається абсолютною. Як уже вказувалося, вона може бути використана для створення генераторів.

а

б

Рис.3.3.7.Еволюція обмеженого початкового збурення у випадках абсолютної (а) та конвективної (б) нестійкості.

 У двопроменевому підсилювачі на супутніх пучках, резистивному підсилювачі, лампі біжучої хвилі початкове збурення, що зростає, одночасно переноситься в просторі. При цьому коливання в даній точці простору з часом можуть і згасати. Таку нестійкість називають зносовою, або конвективною. Вона може бути використана для створення підсилювачів.

 Абсолютну нестійкість можна перетворити в конвективну і навпаки, якщо перейти в деяку рухому систему відліку. Наприклад, у системі відліку, що рухається з достатньою швидкістю вздовж системи, абсолютна нестійкість сприйматиметься як конвективна. Навпаки, якщо швидкість руху системи відліку збігається зі швидкістю знесення підсилюваного збурення, то в рухомій системі конвективна нестійкість сприйматиметься як абсолютна.

 Поняття абсолютної та конвективної нестійкості мають сенс тільки для задач про еволюцію просторово обмежених початкових збурень (хвильових пакетів). Якщо в ролі початкового збурення виступає нескінченна в просторі гармоніка, розрізнити абсолютну та конвективну нестійкість неможливо.

 Нехай тепер середовище, в якому існує конвективна нестійкість хвиль, є поздовжньо неоднорідним - наприклад, обмеженим двома дзеркалами. Відбиваючись від дзеркал, хвиля весь час буде повертатися в деяку область, зазнаючи підсилення (рис.3.3.8). В результаті в кожній точці вказаної області з часом сигнал зростатиме. Нестійкість такого типу, обумовлена відбиттям хвиль від неоднорідностей, називається осциляторною. Прикладом системи, що демонструє осциляторну нестійкість, може служити лазер або поздовжньо обмежена плазмово-пучкова система.

 

 

 

 

Рис.3.3.8. Зростання сигналу в системі з осциляторною нестійкістю в просторі та часі.

3.3.5. Критерій Брігса.

 Нехай при аналізі дисперсійного рівняння з’ясувалося, що в деякому діапазоні частот хвильові числа є комплексними. Комплексні хвильові числа вказують на один з двох можливих ефектів -. На практиці буває потрібно з’ясувати, що насправді має місце в системі, не аналізуючи, наприклад, знак енергії хвиль, що взаємодіють. Це можна зробити на основі критерію Брігса.

 Підставимо в дисперсійне рівняння комплексну частоту у формі

(3.3.13)        .   

При цьому хвильове число також буде комплексним: . Якщо при зміні від нуля до плюс нескінченості величина змінює свій знак, в системі має місце конвективна нестійкість, у протилежному випадку - непропускання.

 Критерій Брігса заснований на принципі причинності. Уявна частина частоти в (3.3.13) являє собою інкремент коливань джерела:

(3.3.14)       .

Тоді на деякій віддалі від джерела з урахуванням ефекту запізнення можна отримати для досліджуваної хвилі:

(3.3.15)       . 

Якщо навіть для чисто дійсного значення частоти хвильове число виходить комплексним, , то

(3.3.16)       .

Отже,

(3.3.17)       .    

Зрозуміло, що при , як випливає з (3.3.16), сигнал завжди спадатиме при віддаленні від джерела. Якщо при знак не зміниться, то сигнал так само спадає при віддаленні від джерела, тобто в системі має місце непропускання. Якщо ж при знак зміниться, це означає, що сигнал у цьому випадку зростає при віддаленні від джерела, тобто в системі має місце конвективна нестійкість.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]