3.4. Хвилі в нелінійних пасивних системах.

 Одним з можливих нелінійних ефектів, що виникають при поширенні потужної хвилі в нелінійному пасивному середовищі, є розпадна нестійкість. Такий ефект (умовою існування якого є розпадний характер спектру) типовий для нелінійних середовищ із сильною дисперсією (потужні електромагнітні хвилі в кристалах, низькочастотні хвилі в плазмі), коли умови синхронізму виконуються лише для деякого вибраного набору частот та хвильових чисел.

 В середовищах, де ефекти дисперсії є слабкими (акустичні хвилі в газах, високочастотні хвилі в плазмі, хвилі в неглибокому шарі рідини з твердим дном), у нелінійній взаємодії може брати участь одночасно велика кількість хвиль з різними частотами. Найпростішою моделлю таких середовищ є консервативне нелінійне середовище без дисперсії.

3.4.1. Хвилі в консервативному нелінійному середовищі без дисперсії.

 Звичайне одновимірне хвильове рівняння вигляду (3.1.5) описує пару хвиль, що біжать у протилежних напрямках (див. (3.1.16)). Тому в теорії нелінійних хвиль звичайно користуються так званим рівнянням однохвильового наближення, яке для лінійних хвиль має вигляд:

(3.4.1)        .   

Його загальний розв’язок -

(3.4.2)       ,     

тобто хвиля з незмінним профілем, що рухається зі швидкістю с. Незмінність профілю хвилі вказує на відсутність дисперсії в досліджуваній системі.

Єдиним параметром рівняння (3.4.1) є швидкість с, тому його узагальнення на нелінійний випадок має вигляд

(3.4.3)        -    

найпростіша нелінійність пов’язана із залежністю швидкості від величини локального збурення.

 Рівняння вигляду (3.4.3) можна отримати, наприклад, для потоку частинок, що не взаємодіють одна з одною. В нерухомій системі відліку для малої “краплі” такого потоку можна записати:

(3.4.4)       .    

Окремий розв’язок рівняння (3.4.4) - - відповідає немодульованому моноенергетичному потоку частинок.

 Нехай тепер потік частинок зазнає початкової модуляції за швидкістю:

(3.4.5)       .  

 Перейдемо в систему відліку, що рухається разом з пучком: , , . Тоді

(3.4.6)         ,  .  

 Підставивши (3.4.6) до (3.4.4), отримаємо

(3.4.7)       ,    

тобто окремий випадок рівняння (3.4.3) при , коли швидкість потоку частинок пропорційна до його густини.

 Розв’язок рівняння (3.4.3) також можна подати у формі (3.4.2), слід тільки врахувати залежність :

(3.4.8)       .   

Функція u(x,t) в (3.4.8) задана неявно.

 З рівняння (3.4.3) випливає, що ділянки профілю хвилі з різними значеннями и мають різну фазову швидкість (с=с(и)). В результаті профіль хвилі змінюватиметься в процесі її поширення.

 Нехай, наприклад, dc/du>0. Тоді максимуми хвилі обганятимуть точки, де и=0, а мінімуми, навпаки, відставатимуть від цих точок. В результаті крутість переднього фронту хвилі почне зростати, а заднього - зменшуватися (криві 1-2 на рис.3.4.1). В деякий момент на передньому фронті з’явиться точка, в якій похідна du/dz перетвориться в нескінченість (крива 3 на рис.3.4.1). Після цього на передньому фронті хвилі з’явиться ділянка неоднозначності (крива 4 на рис.3.4.1). Говорять, що має місце перекидання фронту хвилі.

 

 

 

 

Рис.3.4.1. Еволюція первісно синусоїдальної хвилі в нелінійному консервативному середовищі без дисперсії: 1 - t=0; 2 - t=0.5; 3 - t=1; 4 - t=1.5.

 Користуючись розв’язком (3.4.8), знайдемо момент часу, в який відбудеться перекидання фронту хвилі. Для цього продиференціюємо (3.4.8) по х:

(3.4.9)        

(тут штрих позначає диференціювання за аргументом). Тоді

(3.4.10)       .  

 Як випливає з (3.4.10), перекидання фронту відбувається в момент

(3.4.11)       ,    

причому в точці, де f’>0, тобто на передньому фронті хвилі. Навпаки, якщо dc/du<0, перекидання відбуватиметься на задньому фронті.

 У термінах спектрального аналізу можна сказати, що деформація профілю хвилі означає появу вищих гармонік у її спектрі. За відсутності дисперсії амплітуди вищих гармонік безперервно зростатимуть, оскільки ці гармоніки поширюються у синхронізмі з основною хвилею. Через консервативність системи зростання вищих гармонік відбуватиметься за рахунок відбору енергії у основної моди. В результаті спектр хвилі весь час розширюється в бік верхніх частот. Як кажуть, має місце перекачування енергії вгору за спектром.

 Описана картина матиме місце, наприклад, при поширенні модульованого за швидкістю потоку частинок (неоднозначність залежності u(x) означає в цьому випадку появу багатопотоковості) або при поширенні поверхневих хвиль у тонкому шарі рідини з твердим дном (перекидання фронту таких хвиль легко спостерігати на поверхні води).

 Але в багатьох випадках фізична величина, що описує хвилю, принципово не може бути неоднозначною (наприклад, тиск в акустичній хвилі або напруженість поля в електромагнітній хвилі). Тоді для коректного опису поведінки такої хвилі при t>t0 необхідно враховувати вплив слабкої дисипації або слабкої дисперсії.

3.4.2. Хвилі в нелінійному слабкодисипативному середовищі.

 Розглянемо модифікацію однохвильового рівняння для нелінійного середовища - так зване рівняння Бюргерса:

(3.4.12)       ,   

в якому останній доданок описує дисипацію енергії (n - параметр дисипації). Підставивши до (3.4.12) розв’язок у вигляді гармонічної хвилі, u~exp(iw t-ikx), легко зрозуміти, що рівняння Бюргерса описує середовище з дисипацією в короткохвильовій області (або на високих частотах).

 Наявність дисипації на високих частотах приводить до обмеження спектру нелінійної хвилі згори. Це, в свою чергу, обумовлює сповільнення укручування фронту, і перекидання хвилі не відбувається.

 Рівняння Бюргерса має точний розв’язок для початкових умов, коли

(3.4.13)       , .

Графік цього розв’язку поданий на рис.3.4.2. З часом довжина збурення зростає (задній фронт безперервно розтягається), а його амплітуда зменшується (внаслідок дисипації енергії хвилі):

(3.4.14)       , .   

 

 

 

Рис.3.4.2. Початкове збурення в пізні моменти часу для середовища, описуваного рівнянням Бюргерса.

 На передньому фронті хвилі, де її крутість максимальна, відбувається дисипація енергії, тому ширина фронту визначається параметром дисипації:

(3.4.15)        .    

 Розв’язки такого типу дістали назву ударних хвиль.

 Найчастіше ударні хвилі зустрічаються в газах або плазмі. Енерговиділення на фронті ударної хвилі в газі може бути настільки значним, що за фронтом газ іонізується. Для хвиль іще більшої інтенсивності іонізація газу може відбуватися навіть перед фронтом ударної хвилі - за рахунок теплового випромінювання від фронту.

3.4.3. Хвилі в нелінійному консервативному середовищі зі слабкою дисперсією.

 Розглянемо тепер випадок, коли в нелінійному консервативному середовищі існує дисперсія, яка найбільш помітна для коротких хвиль. Одним з можливих модифікацій рівняння однохвильового наближення (3.4.4) на цей випадок є рівняння Кортевега - де Вріза (рівняння КдВ):

(3.4.16)       ,   

де b - параметр дисперсії. Рівняння КдВ описує, наприклад, хвилі на неглибокій воді, іонно-звукові хвилі в замагніченій плазмі та ін.

 Наявність дисперсії для коротких хвиль приведе до того, що умова синхронізму для вищих гармонік основної хвилі буде порушуватися, в результаті чого їхні амплітуди залишаться малими, і перекачування енергії вгору за спектром припиниться. В результаті перекидання хвилі не відбудеться. Оскільки система є консервативною, то може відбуватись періодичний обмін енергією (в просторі) між основною гармонікою та вищими гармоніками, в результаті чого хвиля на певній віддалі від початку системи буде відновлювати свою первісну форму. Цей ефект дістав назву повернуваності.

 Але можна так підібрати форму хвилі, що вищі гармоніки в її спектрі перебуватимуть у рівновазі з основною. Тоді отримаємо стаціонарну хвилю, що поширюється в середовищі, не змінюючи своєї форми. Для її аналізу підставимо розв’язок у рівняння (3.4.16) в автомодельному вигляді:

(3.4.17)       ,  ,  

де V - швидкість стаціонарної хвилі. Врахувавши, що

, ,

замість (3.4.16) можна отримати:

(3.4.18)         . 

Проінтегрувавши за x , отримаємо:

(3.4.19)       .   

За рахунок відповідного вибору початку відліку константу інтегрування в правій частині (3.4.19) можна покласти рівною нулеві. Тоді рівняння (3.4.19) формально можна розглядати як рівняння руху маси b у потенціалі

(3.4.20)       ,  

де змінна и відіграє роль координати, а змінна x - роль часу.

 На рис.3.4.3 подано хід потенціалу (3.4.20), фазовий портрет у координатах u, du/dx та епюри коливань (профілі хвилі). Аперіодична хвиля, що відповідає рухові уздовж петлі сепаратриси на фазовому портреті, дістала назву відокремленої хвилі, або солітона. Йому відповідає розв’язок вигляду

(3.4.21)       .    

Підставивши (3.4.21) до (3.4.16), можна отримати зв’язок між амплітудою солітона um, швидкістю V та шириною D :

(3.4.22)       , .   

а

в

б

 

 

Рис.3.4.3. Стаціонарні розв’язки рівняння КдВ:

а - хід потенціалу; б - фазовий портрет; в - профілі хвилі (крива 4 відповідає солітону).

 Отже, чим більша амплітуда солітона, тим більша його швидкість і менша ширина. Остання обставина пояснюється тим, що в солітоні укручування фронту за рахунок нелінійності компенсується його розпливанням за рахунок дисперсії, причому із зростанням амплітуди рівновага зсувається в бік нелінійності, тобто більшої крутості фронтів.

 Можна показати, що будь-яке додатньо визначене початкове збурення в середовищі, описуваному рівнянням КдВ, з часом розпадається на послідовність солітонів (рис.3.4.4), причому в силу першого із співвідношень (3.4.22) вершини цих солітонів весь час лежатимуть на одній прямій (шлях, пройдений кожним солітоном, пропорційний його швидкості, а отже, і амплітуді).

 

 

 

Рис.3.4.4. Послідовність солітонів КдВ, що утворилася в результаті еволюції початкового додатньо визначеного збурення

 Солітони КдВ мають іще одну дивну властивість: при зустрічі два таких соліони проходять один крізь одного без взаємодії.

 Вперше спостерігав солітони в експерименті у 30х-40х роках ХІХ століття англійський інженер-кораблебудівник Дж. Скот-Расел (у вигляді хвиль в неглибоких каналах). Однак його роботи були забуті. Сплеск інтересу до солітонів почався в другій половині ХХ століття одночасно в декількох галузях науки - нелінійній електродинаміці, фізиці твердого тіла, гідродинаміці, біофізиці та ін. Дослідження солітонів іще раз продемонструвало єдність нелінійних коливних (хвильових) процесів різної природи.

 Крім рівняння КдВ, розв’язки у вигляді солітонів мають також деякі інші нелінійні хвильові рівняння - наприклад, рівняння синус-Гордона

(3.4.23)          

та нелінійне рівняння Шрьодінгера

(3.4.24)       .  

 Прикладами солітонів можуть служити хвилі на мілкій воді, іонно-звукові та магнітозвукові хвилі в плазмі, поширення надпотужних світлових імпульсів у нелінійних кристалах, антициклони в атмосфері Землі, Червона пляма на Юпітері.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]