У другій половині ХХ століття в зв’язку із задачами біофізики та хімічної кінетики почали обговорюватися процеси динаміки нелінійних дисипативних систем, що отримують енергію ззовні (відкриті системи) або мають значний запас енергії (нерівноважні системи). Типовими ефектами в таких системах є виникнення в первісно однорідних середовищах просторових структур (які, взагалі кажучи, можуть еволюціонувати з часом), причому параметри цих структур визначаються властивостями самого середовища і слабко залежать від початкових або граничних умов. Такі структури дістали в літературі назву автохвиль.

 Різноманітність автохвильових процесів обумовлює різноманітність математичних моделей, що використовуються для їхнього опису. Але, як з’ясувалося, велику кількість таких процесів різноманітного типу можна описати за допомогою так званих нелінійних кінетичних рівнянь дифузійного типу:

(3.5.1)        .   

Тут - набір змінних, функція визначає їхню зміну в часі за відсутності дифузії, - матриця коефіцієнтів дифузії ( в загальному випадку дифузія є нелінійною, тобто ).

 Бістабільні середовища - це середовища, що мають два можливі стаціонарні стани. Наприклад, суміш газів у реакторі, куди надходять метан та повітря, може перебувати в стані горіння та в стані відсутності горіння. Перехід від одного стану до іншого відбувається у вигляді хвилі перекидання, або біжучого фронту - в наведеному прикладі в ролі таких хвиль можуть виступати хвиля запалювання або хвиля гасіння. Прикладом біжучого фронту може служити також хвиля заселення (для біологічних популяцій). Форма та швидкість біжучого фронту визначаються лише властивостями системи і не залежать від початкових (граничних) умов.

 Для опису біжучого фронту досить одного скалярного рівняння вигляду (3.5.1). Розглянемо розв’язок такого рівняння для найпростішої одновимірної моделі хвилі запалювання в середовищі, куди надходить пальне. Кінетичну функцію, що визначається різницею між тепловиділенням в результаті горіння та втратами за рахунок теплообміну з навколишнім середовищем, оберемо у модельній формі

(3.5.2)        , 

(3.5.3)        , 

де и - температура горіння, D - коефіцієнт температуропровідності. Температура навколишнього середовища тут прийнята рівною нулеві.

 Рівняння (3.5.3) має три стаціонарні однорідні розв’язки вигляду u=const(x,t): u=0, u=u₀ та u=1. Розв’язок u=u₀ є нестійким. Розв’язок u=0 описує стан відсутності горіння, коли температура системи збігається з температурою навколишнього середовища. Розв’язок u=1 описує стан горіння, коли вся теплота, що виділяється при цьому, розсіюється в результаті теплообміну. Хвиля запалювання являє собою перехід від стану u=0 до стану u=1.

(3.5.4)       ,  

або у фазових змінних u, w=du/dx :

(3.5.5)         .

 Розв’язок рівняння (3.5.5) природно шукати у вигляді поліному третього ступеню від и:

(3.5.6)        .   

(3.5.7)          

(3.5.8)       ; ;  .

(3.5.9)       .    

 Інтегруючи рівняння (3.5.9) з урахуванням того, що w=du/dx , можна отримати:

(3.5.10)         . 

Графік залежності и(x ) подано на рис.3.5.1б. Як випливає з (3.5.10), ширина біжучого фронту складає

(3.5.11)         .   

 Як випливає з останнього співвідношення (3.5.8), напрямок руху біжучого фронту залежить від значення параметра и₀. При и₀<1/2 розширюється область и₀=1, тобто отримуємо хвилю запалювання. Навпаки, при и₀>1/2 розширюється область и₀=0, тобто отримуємо хвилю гасіння.

 Середовища з відновленням відрізняються від бістабільних тим, що один із стаціонарних станів виявляється метастабільним, і система спонтанно переходить із нього в основний стан. Наприклад, після пожежі в степу протягом кількох місяців трава знову виростає, і система переходить в основний стан, відновлюючи попередні властивості. В таких системах перехід із основного стану в метастабільний, а потім знову в основний здійснюється у формі особливої автохвилі - так званого біжучого імпульсу (інколи його називають дисипативним солітоном). Для опису біжучого імпульсу необхідна система з двох скалярних рівнянь вигляду (3.5.1). Прикладом системи, в якій неперервно утворюються такі біжучі імпульси, може служити діод Ганна. Передача імпульсів уздовж нервових волокон також являє собою біжучий імпульс. Іще один приклад біжучого імпульсу - збурення у плівці в’язкої рідини, що стікає по гладенькій поверхні.

 Розглянемо реакцію горіння в середовищі, куди надходить пальне. Нехай в результаті горіння виділяється деяка речовина - так званий інгібітор - яка придушує реакцію горіння. Нехай за відсутності горіння інгібітор розпадається або відходить у навколишнє середовище. Припустимо також, що характерний час накопичення (або розпаду) інгібітору значно перевищує характерний час запалювання (гасіння). Тоді профіль біжучого імпульсу має вигляд, поданий на рис.3.5.2.

 Передній фронт біжучого імпульсу - це, по суті, хвиля запалювання. Після його проходження температура середовища стрибком підвищується, і починається виділення інгібітору. Коли концентрація інгібітору досягає критичного значення, горіння припиняється, і температура стрибком падає. Далі починається розпад інгібітору, і середовище поступово релаксує до основного стану. Деталі профілю біжучого імпульсу визначаються конкретним виглядом кінетичних функцій для температури та концентрації інгібітора.

 Автоколивне середовище можна уявити собі як деяку мережу зв’язаних між собою елементарних автогенераторів. Прикладом такого середовища може служити шар розчину, в якому відбувається так звана реакція Білоусова - Жаботинського - хімічна реакція автокаталітичного типу, що супроводжується періодичною зміною концентрації реагентів і відповідною зміною забарвлення розчину. Іншим прикладом автоколивного середовища може бути тканина серцевого м’яза.

 Широкий клас автоколивних середовищ описує так звана l -w модель, якій відповідає скалярне рівняння вигляду (3.5.1) з комплексною змінною:

(3.5.12)        ,

(3.5.13)         , 

r та j - дійсні амплітуда та фаза коливань, а функція l (r) монотонно спадає зі зростанням r і перетворюється в нуль при деякому r₀. Легко показати, що за відсутності дифузії (D₁+iD₂=0) рівняння (3.5.12) описує автоколивання, що встановлюються на рівні r₀ і мають частоту w(r₀).

 За деяких додаткових припущень повне рівняння (3.5.12) описує так звані фазові хвилі. За своєю природою фазові хвилі подібні до біжучої стрічки тексту на табло, складеному з окремих лампочок, коли відповідне вмикання і вимикання лампочок створює ілюзію зображення, що рухається. Так само зсув фаз коливань сусідніх автогенераторів створює ілюзію хвиль, що рухаються в просторі.

 Фазові хвилі мають такі різновиди:

- синфазні автоколивання в усьому просторі;

- біжучі плоскі хвилі;

- провідний центр, або пейсмекер (джерело концентричних хвиль);

- ревербератор (джерело спіральних хвиль).

 Наприклад, нормальний стан роботи серцевого м’яза - це синфазні автоколивання. Виникнення пейсмекера в тканині серцевого м’яза є причиною надзвичайно важкої хвороби - аритмії, тобто порушення нормального ритму роботи серця, яка може навіть спричинити смерть людини. Причиною виникнення пейсмекера є, як прийнято вважати, деяка локальна неоднорідність середовища.

 При взаємодії двох фазових хвиль із різними довжинами коротші хвилі придушують довші. Відповідно із кількох сусідніх пейсмекерів в результаті конкуренції виживає той, що генерує найкоротші хвилі.

 Нехай у деякому обмеженому об’ємі (реакторі) відбувається горіння пального. Вважатимемо коефіцієнт дифузії пального настільки великим, що його концентрація а підтримується однаковою в усіх точках реактора. Пальне надходить до реактора з постійною швидкістю Q. Нехай q(Т) - тепловиділення одиниці маси пального при температурі Т, p(Т) - швидкість зменшення пального при горінні (обидві ці функції мають вигляд розмитих сходинок, рис.3.5.3).

(3.5.14)        , 

де доданок g(Т-Т₀) описує теплообмін реактора з навколишнім середовищем, що має температуру Т₀, а доданок cDТ - теплопередачу в реакторі (c - коефіцієнт температуропровідності). Розв’язок рівняння (3.5.14) являє собою хвилю запалювання (див. п.3.5.2, пор. (3.5.14) та (3.5.3)), швидкість (і напрямок руху) якої залежить від концентрації пального.

(3.5.15)        ,  

 Ми бачили, що в нелінійних дисипативних системах, які є нерівноважними або можуть черпати енергію ззовні, можлива непередбачувана, хаотична поведінка. Такі ефекти можливі й у системах із розподіленими параметрами. Такі процеси дістали назву турбулентності. Найвідомішим прикладом є, мабуть, гідродинамічна турбулентність, що виникає в рідині з достатньо великою швидкістю течії. Турбулентними є і потоки повітря в атмосфері. Широко поширена турбулентність у фізиці плазми. Зокрема, саме турбулентність плазми значно ускладнює її утримання в магнітних пастках з метою здійснення керованого термоядерного синтезу.

 Слід відзначити, що в багатьох випадках турбулентний рух, що зовні виглядає хаотичним, характеризується значною впорядкованістю. По-перше, спектр турбулентності є невипадковим і характеризується закономірним розподілом густини енергії по частотах або довжинах хвиль (так звані колмогоровські спектри). По-друге, хоча з формальної точки зору система з розподіленими параметрами характеризується нескінченою кількістю ступенів вільності і нескінченовимірним фазовим простором, розмірність дивного атрактора, що відповідає турбулентному рухові, в багатьох випадках виявляється скінченою, і її іноді вдається оцінити експериментально.