а
б
Рис.1.13.1. Розбігання сусідніх зображуючих точок: а - лінійний осцилятор з від’ємним квадратом частоти, первісно точки знаходилися по різні боки від сепаратриси; б - лінійний осцилятор з від’ємною дисипацією.
При аналізі руху нелінійного консервативного осцилятора під дією зовнішньої сили (п.1.9) ми бачили, що за певних умов поведінка досить простої нелінійної системи може стати непередбачуваною. Розглянемо тепер цей ефект більш детально.
1.13.1. Непередбачувана поведінка простих систем.Про стохастичну динаміку в фізиці звичайно говорять тоді, коли розглядаються дуже складні системи. Наприклад, при аналізі руху газу або рідини немає можливості записати і розв’язати набір рівнянь руху для кожної частинки через велику кількість останніх. Тому вводять деякі середні величини (тиск, температуру, швидкість спрямованого руху та ін.), якими характеризують систему як ціле. Непередбачувані відхилення величин (наприклад, тиску) від їхніх середніх значень - флуктуації - пояснюються тим, що при такому описі мікроскопічні ефекти не враховуються.
Коли ж ідеться про порівняно прості системи з невеликим числом ступенів вільності, то прийнято було вважати, що поведінка таких систем (принаймні, за межами квантової механіки, де всі процеси мають принципово ймовірнісний характер) є цілком передбачуваною.
Насправді останнє міркування є справедливим лише для стійких систем, у яких сусідні точки фазового простору з часом не розбігаються (див. п.1.11). Коли ж система є нестійкою, ситуація змінюється. Справді, початкові умови завжди відомі нам з певною скінченою точністю. Поведінку системи можна вважати передбачуваною лише тоді, коли початкова невизначеність з часом не зростатиме. Але для нестійких систем (наприклад, лінійний осцилятор з від’ємним квадратом частоти або з від’ємною дисипацією, рис.1.13.1) ця умова порушується. В результаті невизначеність з часом зростає і може стати як завгодно великою.
|
|
|
|
Рис.1.13.1. Розбігання сусідніх зображуючих точок: а - лінійний осцилятор з від’ємним квадратом частоти, первісно точки знаходилися по різні боки від сепаратриси; б - лінійний осцилятор з від’ємною дисипацією. |
|
Зазначимо, що причиною розбігання зображуючих точок для маятника з від’ємним квадратом частоти (рис.1.13.1а) є розташування цих точок у початковий момент часу по різні боки від сепаратриси, а для маятника з від’ємною дисипацією (рис.1.13.1б) - обумовлене від’ємною дисипацією зростання амплітуди коливань з часом.
Але в обох щойно розглянутих моделях рух системи є інфінітним, що, очевидно, не відповідає реальним ситуаціям.
Для того, щоб можна було говорити про стохастичну поведінку системи і описувати її в термінах теорії ймовірності, треба, щоб вона характеризувалася деякими середніми величинами, а для цього її рух має бути фінітним. Поєднання нестійкості із фінітністю руху (або, що те саме, обмеженістю області фазового простору, в якій відбувається еволюція системи) і призводить до появи непередбачуваної поведінки.
Оскільки фазові траєкторії не можуть перетинатися, на фазовій площині (тобто для системи з одним ступенем вільності) поєднання нестійкості і обмеженості руху виявляється неможливим. Для цього необхідний принаймні тривимірний фазовий простір, тобто система щонайменше з півтора ступенями вільності.
Приклад такої системи ми вже розглядали - це коливання консервативного математичного маятника в околі сепаратриси під дією малої зовнішньої сили (див. п.1.9) *. Як уже відзначалося, причиною виникнення непередбачуваності в цій системі є наявність сідлової точки, яка забезпечує нестійкість, а зовнішня сила може “перекидати” зображуючу точку по різні боки від сепаратриси.
1.13.2. Генератор шуму КПР: схема та рівняння руху. Однією з порівняно простих систем, які здатні демонструвати хаотичну поведінку і дозволяють вивчати багато які її властивості, є так званий генератор шуму Кияшка - Піковського - Рабиновича (генератор КПР). Його схему наведено на рис.1.13.2. Вона нагадує схему звичайного генератора Ван дер Поля з контуром у колі сітки, але в цей контур додатково увімкнений тунельний діод з N-подібною вольтамперною характеристикою 
(рис.1.13.3). Остання має дві зростаючі ділянки - А та В, розділені спадаючою ділянкою (стани, що їй відповідають, є нестійкими і не реалізуються). Омічний опір діода на ділянці А ( в області від’ємних та малих додатних напруг), а також при великих додатних напругах на ділянці В можна вважати невеликим, на початку ж ділянки В він значно зростає.
Крім тунельного діода, в схемі є іще один нелінійний елемент - лампа ** з анодно-сітковою характеристикою, яку ми, як і раніше, апроксимуватимемо кубічним поліномом (1.10.24).
|
|
|
|
Рис.1.13.2. Схема генератора КПР. |
Рис.1.13.3. Вольт-амперна характеристика тунельного діода |
Запишемо систему диференціальних рівнянь, що описує роботу генератора. Позначивши через
I струм в коливному контурі, а через U та V - падіння напруги відповідно на конденсаторі та на тунельному діоді (рис.1.13.2), можна записати другий закон Кірхгофа для контуру (з урахуванням взаємної індукції М та апроксимації (1.10.24)) у формі(1.13.1) 
(пор. з виведенням рівняння Релея (1.10.31)).
Диференціюючи рівняння, що пов’язує між собою заряд конденсатора та напругу на ньому, дістанемо:
(1.13.2) 
.
Врахуємо, що р-п перехід тунельного діода має деяку ємність С
1, яку ми вважатимемо малою (e = С1/С<<1). Тому повний струм через цей діод складатиметься з активної складової та струму зміщення C1 dV/dt:
(1.13.3) 
.
Виключимо з (1.13.1) похідну
за допомогою (1.13.2) і перейдемо до безрозмірних змінних:
(1.13.4) 
, 
, 
, 
,
де
, 
. Тоді рівняння (1.13.1)-(1.13.3) можна переписати у вигляді
(1.13.5) 
; 
; 
,
де введено позначення
(1.13.6) 
, 
, 
.
Нехай тунельний діод відсутній (або його опором можна знехтувати). Тоді, поклавши 
у першому з рівнянь (1.13.5) і відкинувши останнє, легко отримати систему, що зводиться до рівняння
(1.13.7) 
,
тобто до однорідного рівняння Ван дер Поля (1.10.31).
При
(коли амплітудну умову самозбудження не виконано) коливання згасатимуть.
За виконання умови
амплітуда майже гармонічних коливань, що встановляться в системі, буде рівна
(1.13.8) 
.
Отриманий результат відповідатиме реальній поведінці генератора КПР, якщо ця амплітуда лежатиме на ділянці А вольтамперної характеристики тунельного діода, тобто при
(1.13.9) 
.
При достатньо великих
, коли буде виконано нерівність
(1.13.10) 
,
немонотонність характеристики тунельного діода стане малопомітною в масштабі
, а його омічний опір знову зменшиться. Тому в схемі встановляться періодичні автоколивання релаксаційного типу (див. п.1.10). Цей результат підтверджується числовим моделюванням.
За виконання умови
(1.13.11)
немонотонність вольтамперної характеристики діода стає принциповою, і для аналізу поведінки генератора КПР слід користуватися повною системою рівнянь (1.13.6).
1.13.4. Фазовий портрет стохастичних коливань.Система (1.13.6) містить три диференційних рівняння першого порядку з незалежними від часу правими частинами і, отже, описує систему з півтора ступенями вільності. Вона містить малий параметр e при похідній в одному з рівнянь, отже, її розв’язок можна будувати шляхом виділення ділянок швидкого та повільного руху (див. п.1.10).
Поклавши в останньому з рівнянь (1.13.6) 
, отримаємо, що траєкторії повільного руху лежать на поверхні I = ID(V) (рис.1.13.4а). Ділянка А цієї поверхні відповідає першій зростаючій ділянці (А) характеристики тунельного діода (рис.1.13.3), а ділянка В - іншій зростаючій ділянці характеристики (В).
Траєкторії швидкого руху - це прямі, паралельні до осі
V. Справді, поділивши третє рівняння (1.13.6) на перше та на друге, отримаємо відповідно, що за межами поверхні повільного руху
,
тобто ці похідні прямують до нескінченості при
.
За виконання умови (1.13.11), коли робоча точка знаходиться на ділянці А вольтамперної характеристики діода (рис.1.13.3), а зображуюча точка - відповідно на поверхні А повільного руху (рис.1.13.4а), в автогенераторі виконано амплітудну умову самозбудження, і фазова траєкторія на поверхні А являє собою спіраль, що розкручується. В силу умови (1.13.11) нелінійність лампи на межі поверхні А ще не обмежує зростання коливань. Тому, коли зображуюча точка потрапляє на край поверхні А, вона опиняється на траєкторії швидкого руху і перестрибує на ділянку В поверхні повільного руху (яка відповідає ділянці В характеристики діода). При цьому омічний опір тунельного діода різко зростає, амплітудна умова генерації порушується, і в контурі починається згасання коливань в аперіодичному режимі. При цьому зображуюча точка рухається по поверхні В у напрямку до початку координат. Коли вона доходить до краю поверхні В, вона знову опиняється на траєкторії швидкого руху і перестрибує на ділянку А. Слід краю поверхні В на поверхні А, куди потрапить зображуюча точка, являє собою деякий відрізок, що містить континуум точок. Тому ймовірність того, що зображуюча точка може потрапити на свою попередню фазову траєкторію, дорівнює нулеві. В результаті фазова траєкторія виявляється незамкненою. Це означає, що коливання в контурі починають зростати з деякою іншою початковою амплітудою та фазою, і цикл коливань до наступного стрибка не буде повторювати попередній.
Фазовий портрет, що відповідає описаному режиму, поданий на рис.1.13.4б, епюри коливань - на рис.1.13.4в. Видно, що величини і та и змінюються з часом неперервно, а величина
v зазнає стрибків, що узгоджується з фазовим портретом.Зрозуміло, що фазова траєкторія на ділянці зростання коливань (на поверхні А) є нестійкою, чим і обумовлена чутливість поведінки системи щодо малої зміни початкових умов. Тому динаміка системи на проміжках часу порядку тривалості кількох пачок коливань буде непередбачуваною.
Описаний режим стохастичних коливань генератора КПР спостерігався в експерименті.
1.13.5. Біфуркації генератора КПР при зміні керуючого параметра.На рис.1.13.5а-г показано зміни фазового портрета системи (1.13.6) при зміні параметра a . В експерименті цей параметр можна змінювати, наприклад, шляхом зміни взаємної індуктивності М котушок, що забезпечують позитивний зворотний зв’язок.
|
|
|
|
в |
Рис.1.13.4: а - поверхні повільного руху; б - фазовий портрет стохастичних коливань; в - епюри стохастичних коливань. |
Як уже вказувалося, при малих a коливання в генераторі будуть згасати (рис.1.13.5а). При цьому початок відліку (на поверхні повільного руху А) являтиме собою стійкий фокус.
При поступовому зростанні a в системі відбудеться біфуркація Андронова - Хопфа, і на місці стійкого фокуса виникне нестійкий фокус, оточений стійким граничним циклом (рис.1.13.5б).
При виконанні умови (1.13.10) граничний цикл, фігурально висловлюючись, вже не вміщуватиметься на поверхні А повільного руху, і зображуюча точка почне перестрибувати на поверхню В. В результаті коливання, як уже відзначалося, стануть хаотичними (рис.1.13.5в).
Нарешті, при дуже великих значеннях a , коли уявні розміри граничного циклу на поверхні А стануть значно більшими за розміри ділянки немонотонності вольтамперної характеристики діода, стохастичний режим зникне, і система стрибком перейде в режим регулярних релаксаційних коливань. Фазовий портрет системи для цього випадку поданий на рис.1.13.5г, епюри коливань - на рис.1.13.5д.
Таким чином, режим хаотичних коливань існує в обмеженій області параметрів генератора КПР. Це типово для стохастичної поведінки динамічних систем.
На закінчення слід вказати, що генератори шуму знаходять застосування в різних областях радіоелектроніки. Розробка генераторів шуму із заданими властивостями - одна з цікавих областей сучасної радіофізики.
|
а |
б |
|
в
г |
д |
|
Рис.1.13.5. Фазові портрети генератора КПР в режимах згасаючих (а), квазігармонічних (б), стохастичних (в) і релаксаційних (г) коливань та епюри релаксаційних коливань (д). |
|
*Формально рух такої системи буде відбуватися в обмеженій області фазового простору, якщо вісь t (рис.1.10.1) замкнути в кільце, довжина якого рівна, наприклад, періоду зовнішньої сили.
**Замість лампи може бути використаний польовий транзистор.
| [ Назад ] | [ Зміст ] | [ Вперед ] |
а
б
