Перейдемо тепер до розгляду руху нелінійних консервативних осциляторів під дією періодичної зовнішньої сили. На відміну від моделі Дюфінга, власні коливання тепер не будуть згасати, і їхня взаємодія з вимушеними коливаннями виявляється істотною. В деяких випадках така взаємодія здатна призвести до того, що поведінка системи стане непередбачуваною.

 На відміну від попереднього пункту, ми не будемо ні прив’язуватися до конкретної моделі нелінійного осцилятора, ні вважати нелінійність слабкою. Для аналізу скористаємося змінними дія - кут.

 Гамільтонівськими називають системи, для яких зберігається функція Гамільтона (гамільтоніан) H(p_і, q_і), - повна енергія системи з п ступенями вільності, записана через її узагальнені координати q_і та узагальнені імпульси p_і*. Рівняння руху системи можна записати через її гамільтоніан у вигляді:

(1.10.1)        , .  

 Вибір узагальнених координат та імпульсів є неоднозначним. Для деяких (не для всіх) гамільтонівських систем можна так підібрати узагальнені координати та узагальнені імпульси , що функція Гамільтона залежить лише від останніх:

.

Тоді величини називають змінними дія - кут, а відповідні системи - повністю інтегровними. Справді, в цьому випадку рівняння руху (1.10.1) спрощуються:

(1.10.2)        ,   .

Після інтегрування отримаємо:

(1.10.3)          .

(1.10.4)        ,  

тобто збереження дії означає, що на фазовій площині (p, q) зберігається площа фігури, обмеженої замкненою фазовою траєкторією. Можна говорити, що дія характеризує інтенсивність коливань. Кут, як видно з (1.10.3), відповідає фазі коливань. Залежність частоти від дії, що присутня в загальному випадку, вказує на неізохронність коливань.

Для гармонічного осцилятора перехід до змінних дія - кут здійснюється за формулами

(1.10.5)        , , . 

(1.10.6)        ,

(1.10.7)        .

Фазовий портрет осцилятора в змінних дія - кут зручно зображати в полярній системі координат. Він являє собою коло радіусу І, по якому з частотою w (І) обертається зображуюча точка.

 Будемо розглядати довільний нелінійний осцилятор з гамільтоніаном Н₀(І). Нехай на нього діє деяка зовнішня сила, яку ми вважатимемо малою. В цьому випадку формально можна користуватися рівняннями руху (1.10.1), якщо записати гамільтоніан у формі

(1.10.8)       , 

де e - малий параметр, V(I,q ,t) - потенціал зовнішньої сили.

 Так, для лінійного осцилятора, коли гамільтоніан Н₀ має форму (1.10.6), вказаний потенціал слід взяти у вигляді , де f(t) - зовнішня сила. Тоді перше із співвідношень (1.10.1) дасть тотожність, а друге - рівняння руху типу (1.2.1). У змінних дія - кут повний гамільтоніан (з урахуванням (1.10.5)) набуде вигляду:

(1.10.9)       .

 Повернемося до загального випадку. Вважатимемо зовнішню силу періодичною з періодом . Тоді потенціал має бути періодичним за t з тим самим періодом. Оскільки, як уже вказувалося, кут q являє собою фазу коливань, потенціал має бути періодичним за цією змінною з періодом 2p (пор. з формулою (1.10.9)).В силу вищесказаного потенціал можна розкласти в подвійний ряд Фур’є за названими змінними:

(1.10.10)       .

 Нехай для деякого набору параметрів виконано умову резонансу

(1.10.11)        .   

Щоб з’ясувати зміст цієї умови, перепишемо її у формі . Тоді її можна інтерпретувати так: для обраного набору параметрів в результаті взаємодії частот власних коливань та зовнішньої сили на нелінійному елементі з’являється комбінаційна частота, що збігається з власною частотою системи і, отже, є для неї резонансною (пор. п.1.8).

 Підставивши (1.10.12) до (1.10.1), отримаємо рівняння для резонансних коливань нелінійного консервативного осцилятора під дією малої періодичної зовнішньої сили у формі:

(1.10.13)       

(1.10.14)         .  

 Перейдемо від змінної q до нової змінної

(1.10.15)         . 

Це відповідає переходу до нової системи координат , що обертається з частотою щодо старої системи , а масштаб по куту розтягнуто в разів. Тоді замість (1.10.3) дістанемо:

(1.10.16)        

 Слід відзначити, що зроблена заміна призвела до формального зменшення числа ступенів вільності системи: рівнянням (1.10.13) відповідало півтора ступеня вільності (в правих частинах присутня явна залежність від часу), рівнянням (1.10.16) - одна ступінь.

Розкладемо частоту власних коливань (1.10.14) в ряд Тейлора навколо резонансного значення дії, обмежившись лінійним доданком:

(1.10.17)        , 

                      ,  .

Підставимо (1.10.17) до (1.10.16), врахуємо умову резонансу (1.10.11), замінімо на і знехтуємо в другому рівнянні доданком, пропорційним до e (справедливість двох останніх операцій буде обгрунтована нижче). Дістанемо остаточно:

(1.10.18)          

 Як уже вказувалося, рівняння (1.10.18) відповідають системі з одним ступенем вільності. Справді, диференціюючи друге з них за часом і виключаючи дію, отримаємо:

,

або, після заміни ,

(1.10.19)       ,  .

 Як відомо (п.1.2), дія періодичної зовнішньої сили на лінійний осцилятор призводить у загальному випадку до виникнення биття - періодичної зміни амплітуди коливань. Нелінійний осцилятор є неізохронним (п.1.7), тому зміна амплітуди його коливань повинна призводити до зміни їхньої частоти. Цей процес описує друге з рівнянь (1.10.18) - ліворуч у ньому стоїть похідна від перенормованої фази, тобто зсув частоти коливань, а права частина пропорційна добутку зміни дії (тобто зміни інтенсивності) на параметр неізохронності (для ізохронних коливань ). Навпаки, зміна власної частоти коливань призводить до зміни розстроювання між нею та частотою зовнішньої сили, що призводить до зміни амплітуди коливань. Цей процес описується першим рівнянням системи (1.10.18).

 Рівняння (1.10.19) має інтеграл руху - “повну енергію” (див.(1.1.13)-(1.1.14))

(1.10.20)       . 

Користуючись рівнянням (1.10.20), можна записати рівняння для фазових траєкторій системи в координатах :

(1.10.21)       . 

Сепаратриса, що розділяє області фінітного та інфінітного руху, відповідає значенню “повної енергії” і описується рівнянням

(1.10.22)         .     

 Фазовий портрет, що відповідає рівнянням (1.10.18)-(1.10.21), наведений на рис.1.10.1а (у декартових координатах) та на рис.1.10.1б (у полярних координатах).

 На фазовому портреті присутні фазові траєкторії двох типів: траєкторії фінітного руху, що знаходяться всередині петель сепаратриси, і траєкторії інфінітного руху (на рис.1.11.2а вони незамкнені). Для траєкторій фінітного руху величина кута y (1.10.15) в середньому з часом зберігається, тому для них умову резонансу (1.10.11) можна вважати виконаною. Для траєкторій інфінітного руху кут y з часом монотонно зростає або спадає, і, отже, умова резонансу (1.10.11) порушується. Таким чином, траєкторії фінітного руху є резонансними, а інфінітного - нерезонансними.

(1.10.23)        .   

(1.10.24)       .

Проаналізуємо тепер справедливість наближень, використаних у розрахунку. Для цього скористаємося параметром мализни зовнішньої сили e . Щоб визначити його, покладемо, що

(1.10.25)       ,

де (див. (1.10.6)). Крім того, введемо безрозмірний параметр нелінійності:

 Досі ми аналізували вимушені коливання нелінійного консервативного осцилятора в припущенні, що умови резонансу виконані для єдиного набору значень . Насправді завдяки неізохронності коливань нелінійного осцилятора навіть у випадку чисто гармонічної зовнішньої сили () можна записати:

;  .

(1.10.30)       ,  .

 У протилежному випадку, при , якщо зовнішня сила є істотно негармонічною, дістанемо:

(1.10.31)         ; ; ; . 

(1.10.32)        -   

 При K<<1 сусідні резонанси можна вважати ізольованими (рис.1.10.2), і їхній взаємний вплив практично відсутній. Інакше кажучи, кожна частота зовнішньої сили може одночасно задовольняти лише одну резонансну умову вигляду (1.10.11).

 Навпаки, якщо

(1.10.33)          K 1, 

рух системи різко ускладнюється: відбуваються одночасно два резонансні коливання (з великими амплітудами), причому принцип суперпозиції не справджується через нелінійність системи. Розвивається нестійкість,що супроводжується розбіганням сусідніх зображуючих точок (у тривимірному фазовому просторі ). Внаслідок цього мала зміна початкових умов у системі призводить до суттєвої зміни її руху в наступні моменти часу. В результаті поведінка системи стає непередбачуваною. Говорять, що рух динамічної системи стає стохастичним.

 Проілюструємо наслідки перекриття нелінійних резонансів на прикладі математичного маятника, на який діє мала зовнішня гармонічна сила.

Можна показати, що перекриття нелінійних резонансів наступає поблизу сепаратриси вільних коливань (при ). Справді, при цьому період коливань прямує до нескінченості, частота - до нуля, а, отже, і віддаль між сусідніми резонансами (1.10.30) також прямує до нуля. З іншого боку, поблизу сепаратриси ширина окремих резонансів (1.10.24) необмежено зростає.

 Щоб зрозуміти, в чому полягає ця непередбачуваність, розглянемо одну з можливих реалізацій математичного маятника - рух кульки в періодичному (точніше, гармонічному) потенціальному рельєфі (рис.1.5.25).

 Нехай за відсутності зовнішньої сили кулька здійснює коливання поблизу дна потенціальної ями, не піднімаючись вище від точки 1 (рис.1.10.3), або, навпаки, здійснює інфінітний рух, коли її повна енергія значно перевищує максимальні значення потенціалу. Тоді дія малої зовнішньої сили не призведе до помітної зміни цих фазових траєкторій.

 Вимушеним коливанням математичного маятника відповідає тривимірний фазовий простір - наприклад, простір . За відсутності зовнішньої сили фінітним коливанням у такому просторі будуть відповідати спіралеподібні криві, інфінітному - хвилясті (рис.1.10.4а,б). Якщо вільні коливання відбувалися далеко від сепаратриси, дія малої зовнішньої сили не призведе до помітної зміни вказаних фазових траєкторій.

 Перетнемо фазові траєкторії набором площин і спроектуємо точки перетину на площину . Точки перетину траєкторій регулярного руху ляжуть на регулярні криві, близькі до фазових траєкторій вільних коливань математичного маятника (рис.1.10.5).

 Якщо вільні коливання відбувалися в околі сепаратриси, вони, як уже відзначалося, виявляються чутливими до дії малої зовнішньої сили, і їхній хід стає непередбачуваним. В результаті точки перетину таких траєкторій з площинами випадковим чином розміщуються в околі сепаратриси на площині , утворюючи так званий стохастичний шар. Ширина стохастичного шару пропорційна до амплітуди зовнішньої сили, тобто до малого параметра e .

 Зображуюча точка, що по-трапила до стохастичного шару, залишається там як завгодно довго, і її рух підкоряється лише імовірнісним закономірностям. Зокрема, як уже вказувалося, вона може відійти як завгодно далеко (за координатою) від свого початкового положення.

 Сусідні точки в стохастичному шарі розбігаються. Це відповідає випадку, коли в одній з двох систем з близькими початковими умовами відбулося перестрибування в сусідню потенціальну яму, а в іншій - ні.

 Повернемося знову до загального випадку системи, описуваної гамільтоніаном (1.10.8). Ми бачили, що врахування лише резонансного доданку у виразі для потенціалу зовнішньої сили (1.10.10) зводить динаміку системи до фазових коливань, описуваних рівнянням (1.10.9) - рівнянням вільних коливань математичного маятника. Поблизу сепаратриси (рис.1.10.1) частота фазових коливань прямує до нуля. Це означає, що там порушується умова вузькості резонансів , тобто там вже не можна знехтувати нерезонансними доданками в гамільтоніані.

 Нерезонансні доданки відіграють для фазових коливань поблизу сепаратриси роль періодичного збурення. Як ми вже знаємо, дія такого збурення призводить до появи стохастичного шару поблизу сепаратриси - в даному випадку сепаратриси на фазовому портреті фазових коливань.

  Перші уявлення про можливість непередбачуваної поведінки (стохастичної динаміки) простих систем сформувалися в 50х роках ХХ століття. На початок 80х років стало зрозуміло, що стохастична динаміка - така сама невід’ємна риса поведінки нелінійних осциляторів, як неізохронність та ангармонізм. Усвідомлення цього факту дістало назву другої революції в механіці **.