1.9. Вимушені коливання нелінійного дисипативного осцилятора.

1.9.1. Обговорення моделі.

 Розглянемо вимушені коливання дисипативного нелінійного осцилятора. Вони описуються рівнянням вигляду

(1.9.1)        ,   

де - деяка нелінійна функція, - зовнішня сила.

 Відзначимо, що розв’язання нелінійного рівняння (1.9.1) - незрівнянно складніша задача, ніж розв’язання аналогічного лінійного рівняння (1.2.5) чи навіть (1.3.1). Для нелінійних систем не справджується принцип суперпозиції. Це означає, що для кожної конкретної функції рівняння доведеться розв’язувати заново (пор. з п.1.3). Більш того, навіть у випадку чисто гармонічної сили для різних амплітуд можуть вийти якісно відмінні розв’язки.

 Для довільної функції розв’язати (1.9.1) не вдається, тому вигляд вказаної функції слід конкретизувати. Розкладемо її у двовимірний ряд Тейлора. Вважаючи дисипацію слабкою, обмежимося лінійним доданком по , доданки по x візьмемо з точністю до третього порядку. Дістанемо, скориставшись традиційними позначеннями:

(1.9.2)       .  

 Будемо вважати зовнішню силу гармонічною. Тоді рівняння (1.9.1) з урахуванням (1.8.2) набуває вигляду

(1.9.3)        .

Рівняння (1.9.3) описує рух дисипативного осцилятора з квадратичною та кубічною нелінійністю - так звану модель Дюфінга.

1.9.2. Прийняті припущення та отримання рівняння для амплітуди.

 Будемо вважати виконаними такі припущення:

(нелінійність слабка).

 Оскільки нелінійність вважається слабкою, можна, як і раніше (п.1.2), говорити про вільну та вимушену складові коливань (правда, їхня взаємодія тепер буде нелінійною). Але, оскільки в системі присутня дисипація, вільна складова коливань з часом згасне. Отже, з часом залишаться тільки чисто вимушені коливання, розглядом яких ми на даному етапі і обмежимося.

 Нелінійні доданки породжуватимуть гармоніки основної частоти р (п.1.7). Але, оскільки нелінійність слабка, а контур високодобротний, їхні амплітуди будуть малими порівняно з амплітудою основної гармоніки, знаходженням якої ми й обмежимося.

 Будемо вести розрахунок з точністю до доданків першого порядку мализни. Тоді доданок, що відповідає квадратичній нелінійності, не даватиме внеску до основної гармоніки (п.1.7), і його взагалі можна не враховувати.

 Враховуючи все сказане, будемо шукати розв’язок рівняння (1.9.3) у формі гармонічних коливань із сталою амплітудою на частоті зовнішньої сили:

(1.9.4)       к.с.   

 Підставимо (1.9.4) до (1.9.3). З урахуванням зроблених припущень відкинемо всі доданки другого та більш високих порядків мализни, а також коливання з частотами, відмінними від р. Прирівнюючи в обох частинах рівняння амплітуди гармонік exp(ipt) та exp(-ipt), отримаємо рівняння для амплітуди у формі:

(1.9.5)        .  

1.9.3. Нелінійне обмеження резонансної амплітуди коливань.

Прирівняємо параметр дисипації до нуля. Тоді коефіцієнти рівняння стануть чисто дійсними. Відповідно і амплітуду коливань можна вважати чисто дійсною величиною. Дістанемо:

(1.9.6)       .    

Покладемо рівній нулю амплітуду зовнішньої сили. Тоді (1.9.6) фактично збігається з першим рівнянням системи (1.7.7) - воно пов’язує між собою частотне розстроювання та амплітуду власних коливань, тобто визначає закон неізохронності осцилятора (перше із співвідношень (1.7.8)).

Тепер покладемо в (1.9.6) рівним нулю розстроювання D . У випадку лінійного консервативного осцилятора амплітуда коливань прямувала при цьому до нескінченості (п.1.2). Тепер вона виявляється обмеженою:

(1.9.7)         .   

 Механізм обмеження коливань у даному разі пов’язаний з неізохронністю системи. Справді, другий доданок в (1.9.6) - це, як уже відзначалося, нелінійний зсув частоти власних коливань, обумовлений їхньою скінченою (ненульовою) амплітудою. У випадку, коли D = 0 (тобто ), зростання амплітуди коливань призведе до нелінійного зсуву власної частоти і, отже, до появи розстроювання між власною частотою та частотою зовнішньої сили. Це розстроювання й обмежуватиме амплітуду коливань на рівні (1.9.7).

1.9.4. Графічний аналіз рівняння для амплітуди.

 Тепер спробуємо графічно знайти розв’язки рівняння (1.9.6). Побудуємо залежності лівої та правої частин (1.9.6) від А, вважаючи параметр b від’ємним. Вони наведені на рис.1.9.1. Введено позначення:

(1.9.8)       , .

Хід графіка істотно залежить від знаку D . Якщо D < 0, маємо один корінь А1, який існує завжди. Якщо D > 0, маємо три корені, один з яких - А3 - існує завжди, а два інші - А2 та А4 - лише за виконання умови , або

 

Рис.1.9.1. Графічне розв’язання рівняння (1.8.6).

Рис.1.9.2. Резонансна крива консервативного осцилятора з кубічною нелінійністю.

(1.9.9)         .  

 Якщо умова (1.9.9) виконана з великим запасом, корені можна оцінити аналітично. Справді, при малих А в (1.9.6) можна знехтувати кубічним доданком, тому

(1.9.10)        .   

Це - відомий розв’язок для лінійного консервативного осцилятора. Навпаки, друга пара коренів за абсолютною величиною близька до А0. Розв’язок за методом послідовних наближень (у формі , де ) дає для них:

(1.9.11)         . 

 На основі отриманих результатів можна побудувати графік поведінки розв’язків рівняння (1.9.6) в залежності від розстроювання (рис.1.9.2).

1.9.5. Гістерезис.

 Резонансна крива (рис.1.9.2) в області розстроювань (1.9.9) є неоднозначною: одному й тому самому значенню частоти зовнішньої сили відповідають три різні значення амплітуди коливань.

 Як показує аналіз, гілка А3 є нестійкою і взагалі не реалізується. Вибір між гілками А2 та А4 залежить від передісторії системи.

 Припустимо, що ми змінюємо частоту зовнішньої сили, не змінюючи її амплітуди. Нехай спочатку вказана частота задовольняє нерівність (1.9.9). При цьому реалізується амплітуда А2. При зменшенні частоти до значення, коли перестає задовольнятися нерівність (1.9.9), відбувається стрибок на верхню гілку, де система залишається при будь-яких подальших змінах частоти (рис.1.9.3). Отже, амплітуда А2 встановлюється і підтримується лише тоді, коли частота зовнішньої сили весь час задовольняє умову (1.9.9). Це, по суті, нерезонансний режим, коли нелінійний доданок в рівнянні (1.9.6) залишається малоістотним.

 Навпаки, верхня гілка резонансної кривої (при додатних розстроюваннях на рис.1.9.2) відповідає резонансному режиму. При цьому власна частота коливань автоматично підстроюється до частоти зовнішньої сили, чим і забезпечується резонансне зростання амплітуди.

 Можна сказати, що в основі ефекту гістерезису лежить неізохронність коливань нелінійного осцилятора. Справді, причина гістерезису - наявність двох стійких станів системи (двох різних значень амплітуди коливань) при одній і тій самій частоті зовнішньої сили. Один із них відповідає лінійним коливанням з малою амплітудою, інший - суттєво нелінійним коливанням з великою амплітудою, коли за рахунок неізохронності власна частота підстроюється до частоти зовнішньої сили.

 

 

 

 

Рис.1.9.3. Зміна амплітуди коливань при зміні частоти зовнішньої сили.

1.9.6. Вплив слабкої дисипації на ефект гістерезису.

Тепер оцінимо вплив слабкої дисипації на отриману резонансну криву. Можна думати, що наявність дисипації, як і в лінійному випадку, обмежуватиме максимальну амплітуду коливань на рівні

(1.9.12)            

(пор. з формулою (1.2.6) для випадку точного резонансу). Для такої амплітуди нелінійне розстроювання власної частоти складе величину

(1.9.13)        .  

 Для розстроювань, що перевищують (1.9.13), стан, що відповідає амплітуді А4, вже не реалізуватиметься, бо амплітуда коливань обмежуватиметься на нижчому рівні (1.9.12) за рахунок дисипації. Отже, гістерезис матиме місце лише для розстроювань

(1.9.14)        .  

 Нерівність не задовольнятиметься при жодних розстроюваннях, якщо

, або

(1.9.15)         , .

Таким чином, при малих амплітудах зовнішньої сили, коли нелінійними доданками в рівнянні (1.9.3) можна знехтувати, гістерезис не виникає, а резонансна крива практично не відрізняється від лінійного випадку.

1.9.7. Резонансна крива для дисипативного осцилятора.

 Побудуємо тепер резонансну криву з урахуванням дисипації, що відповідає рівнянню (1.9.5). Для цього візьмемо квадрат модуля обох його частин. Отримаємо:

(1.9.16)        .

 Рівняння (1.9.16) пов’язує між собою інтенсивність коливань та розстроювання D , тобто задає в неявному вигляді резонансну криву. Перепишемо його у вигляді:

(1.9.17)        .

 Положення максимуму резонансної кривої знаходиться з умови

(1.9.18)        ,  ,

яка зводиться до першого із співвідношень (1.7.8). Межі смуги гістерезису визначаються із співвідношення , або

(1.9.19)        .

 Рівняння (1.9.19) являє собою поліном другого ступеню щодо D . Воно матиме дійсні корені, якщо його дискримінант буде додатнім, тобто при

(1.9.20)         . 

При D<0, очевидно, гістерезису не буде. Прирівнюючи до нуля дискримінант (1.9.20) та враховуючи співвідношення (1.9.6) та (1.9.8), отримаємо точний вираз для граничної амплітуди зовнішньої сили, нижче якої гістерезис відсутній:

(1.9.21)          . 

Точний вираз (1.9.21) добре узгоджується з оцінкою (1.9.15).

 Сім’я резонансних кривих, побудована на основі (1.9.17), наведена на рис.1.9.4.

 

 

 

Рис.1.9.4. Резонансні криві нелінійного дисипативного осцилятора
().

1.9.8. Резонанс на кратних гармоніках та на субгармоніках.

 При побудові розв’язку рівняння (1.9.3) ми нехтували ефектами, обумовленими ангармонізмом. Врахування цих ефектів призводить до появи резонансу не лише на частоті , але й на частотах та . У цих випадках спочатку нелінійні доданки породжують відповідну (другу або третю) гармоніку зовнішньої сили, а потім вона збуджує резонансні коливання системи. Даний ефект лежить в основі роботи помножувачів частоти.

Зрозуміло, що в цьому випадку амплітуда резонансних коливань буде пропорційною до відповідного параметра нелінійності. Врахування наступних наближень призведе до появи резонансів другого та більш високих порядків.

При побудові розв’язку рівняння (1.9.3) ми цікавилися лише чисто вимушеною складовою коливань. Врахування наявності вільних коливань може призвести до появи резонансу на частотах та . Взаємодія власних коливань з частотою із коливаннями на частоті зовнішньої сили на нелінійності призведе до появи комбінаційних частот, одна з яких може виявитися рівною (наприклад, різницева частота для квадратичної нелінійності, коли , або частота для кубічної нелінійності, коли ). Тоді для коливань з частотою в системі з’являється позитивний зворотний зв’язок, що компенсує дисипацію, і вони можуть підтримуватись як завгодно довго.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]