Перш ніж продовжувати дослідження нелінійних осциляторів, розглянемо питання про стійкість руху або стану рівноваги коливних систем. Поняття стійкості можна визначити по-різному, тому існують різні визначення стійкості та нестійкості.

 Нехай динамічна система описується набором рівнянь (В.1). Нехай - розв’язок системи (В.1), що задовольняє початковим умовам , а - деякий інший розв’язок системи (В.1).

Говорять, що розв’язок є стійким за Ляпуновим, якщо для довільного як завгодно малого () завжди можна вказати таку величину того самого порядку мализни, що з нерівності випливає виконання нерівності для довільних моментів часу .

 Нехай - найменша віддаль від точки до фазової траєкторії .

Говорять, що розв’язок є орбітально стійким, якщо для довільного як завгодно малого () завжди можна вказати таку величину того самого порядку мализни, що з нерівності випливає виконання нерівності для довільних моментів часу .

 Звернемося тепер до стійкості положення рівноваги системи.

 Говорять, що система є асимптотично стійкою, якщо в деякому околі точки рівноваги будь-яка фазова траєкторія прямує до цієї точки. Система є абсолютно стійкою, якщо вона має єдину точку рівноваги, асимптотично стійку в усьому фазовому просторі.

 Прикладом абсолютно стійкої системи може служити лінійний дисипативний осцилятор, прикладом асимптотично стійкої - нелінійний дисипативний осцилятор, у якого потенціал має кілька локальних мінімумів (наприклад, математичний маятник з дисипацією - рис.1.8.2). Консервативні осцилятори не є асимптотично стійкими.

 Розглянемо лінійну автономну систему із скінченою кількістю ступенів вільності, що описується рівнянням з постійними дійсними коефіцієнтами

(1.8.1)        ,                  .

(пор. з (1.3.1). Це рівняння має єдину точку рівноваги - . З’ясуємо, чи є ця точка абсолютно стійкою.

(1.8.2)        .   

Підстановка (1.8.2) перетворює (1.8.1) на так зване характеристичне рівняння - поліном п-го ступеню щодо р:

(1.8.3)          . 

Це рівняння має п коренів вигляду . Якщо для всіх k виконується умова

(1.8.4)         ,   

то будь-яке відхилення від положення рівноваги з часом експоненційно спадатиме, тобто система, описувана рівнянням (1.8.1), є абсолютно стійкою. Якщо хоч для одного k умова (1.8.4) порушується, абсолютна стійкість відсутня.

 Виявляється, що для перевірки умови (1.8.4) зовсім не потрібно знаходити всі корені рівняння (1.8.3). Вказану перевірку можна зробити, скориставшись так званим критерієм Рауса - Гурвиця. Побудуємо матрицю розміром з коефіцієнтів рівняння (1.8.3). По головній діагоналі розміщуються коефіцієнти від до . У стовпцях розміщуються по черзі коефіцієнти тільки з непарними або тільки з парними (від ) індексами, що наростають згори вниз. На місцях коефіцієнтів з від’ємними або більшими від п індексами ставляться нулі. Отримаємо так звану матрицю Гурвиця:

(1.8.5)          .

(1.8.6)            ; ;  ; ...; .   

(1.8.7)         , . 

, , , .

(1.8.8)            

 Диференціальне рівняння, що описує поведінку динамічної системи, звичайно залежить від одного або декількох параметрів, які називають керуючими. Зміна цих параметрів буде, взагалі кажучи, призводити до зміни фазового портрету.

 Якщо в деякій області значень керуючого параметра його малі зміни призводять до малих змін фазового портрету (тобто поведінки) системи, то говорять, що в цій області динамічна система є грубою, або структурно стійкою, або стійкою за Андроновим - Понтрягіним.

(1.8.9)        .   

(1.8.10)         .  

Якщо вважати керуючим параметр нелінійності , то біфуркація матиме місце при його переході через нуль. При додатних потенціал матиме один екстремум - мінімум, при від’ємних - три екстремуми - мінімум та два максимуми. Відповідні фазові портрети подані на рис.1.8.3.