.1.7. Вільні коливання нелінійного осцилятора.
Практично кожний осцилятор при великих відхиленнях від положення рівноваги виявляє нелінійність. Прикладами нелінійних осциляторів можуть бути, наприклад, математичний маятник (для достатньо великих відхилень), коливний контур, що містить варікап або котушку індуктивності з феромагнітним осердям, пружинний маятник із сухим тертям та ін.
1.7.1. Консервативний осцилятор з квадратичною та кубічною нелінійністю: аналіз за методом послідовних наближень.
Як уже вказувалося, довільний нелінійний консервативний осцилятор описується рівнянням (1.1.12). Розкладемо в цьому рівнянні нелінійну силу f(x) в ряд Тейлора, обмежившись доданками до третього порядку включно. Отримаємо:
(1.7.1) .
Спробуємо побудувати розв’язок цього рівняння, вважаючи виконаною умови
, 
(
). Шукатимемо його у вигляді ряду за малим параметром:
(1.7.2) 
,
де індекс в круглих дужках вказує мализни порядок доданку. Підставляючи (1.7.2) до (1.7.1) і виділяючи доданки однакових порядків мализни, можна дістати набір рекурентних рівнянь:
;
(1.7.3) 
;
;
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Візьмемо розв’язок першого з рівнянь (1.7.3) у вигляді:
+к.с.
Тоді рівняння першого наближення набуває вигляду:
(1.7.4) 
Розв’язок цього неоднорідного рівняння, очевидно, повинен містити коливання з частотами
0, w0, 2w0 та 3w0. Але при цьому амплітуда гармоніки w 0 прямуватиме до нескінченості (це відповідає точному резонансу лінійного консервативного осцилятора). Тим самим порушується припущення, на основі якого будувався розв’язок (1.7.2), про те, що кожен наступний член цього ряду має бути значно меншим від попереднього.Врятувати становище можна, припустивши, що для доданку нульового порядку мализни частота коливань буде відмінною від w
0.Оскільки нелінійні доданки в рівнянні (1.7.1) породжуватимуть нульову, другу та третю гармоніку основної частоти, шукатимемо розв’язок (з точністю до доданків першого порядку мализни) у вигляді
(1.7.5) 
к.с.
де амплітуди
a, b, c мають перший порядок мализни.Підставляючи (1.7.5) до (1.7.1) і відкидаючи доданки другого і вищих порядків мализни, дістанемо:
(1.7.6) 
к.с.
Звідси, прирівнюючи до нуля амплітуди окремих експонент, отримаємо систему рівнянь:
(1.7.7) 
Тепер можна записати вирази для частоти та амплітуд нульової, другої та третьої гармонік через амплітуду першої гармоніки:
(1.7.8) 
; 
; 
; 
Відзначимо, що частота коливань не залежить від параметра квадратичної нелінійності. Це - результат того, що ми обмежилися першим наближенням за малим параметром a . Врахування доданків другого наближення призведе до того, що така залежність з’явиться.
Отримані результати залишаються справедливими і тоді, коли малим параметром є не параметри нелінійності a та b , а амплітуда коливань, бо при цьому нелінійні доданки так само залишаються значно меншими від лінійних.
1.7.2. Ангармонізм та неізохронність коливань нелінійного осцилятора.
Перейдемо до обговорення отриманих результатів. Зазначимо перш за все, що коливання нелінійного осцилятора, залишаючись періодичними, вже не є гармонічними: вони містять вищі гармоніки основної частоти. Говорять, що нелінійним осциляторам притаманний ангармонізм.
Для осцилятора з квадратичною та кубічною нелінійністю в першому наближенні, як ми бачили, з’явилися нульова, друга та третя гармоніки. В другому наближенні, очевидно, додатково виникне п’ята гармоніка (див. третє з рівнянь (1.7.3)), в третьому - четверта та сьома і т.д.
Другий отриманий нами результат - це відмінність власної частоти коливань від w 0. Точніше, власна частота виявилася функцією амплітуди коливань (див. перше із співвідношень (1.7.8)). Залежність частоти (чи періоду) коливань від їхньої амплітуди називають неізохронністю. Слід підкреслити, що частота коливань залежить лише від модуля амплітуди і не залежить від фази коливань. Урахування більш високих порядків мализни, як уже вказувалося, призведе до уточнення закону неізохронності.
У випадку осцилятора з нелінійністю непарного порядку неізохронність з’являється вже в першому порядку мализни. Якщо ж нелінійність - парного порядку, неізохронність з’явиться в розрахунках з точністю до другого порядку мализни.
1.7.3. Фазовий портрет нелінійного осцилятора
Для довільного нелінійного консервативного осцилятора, описуваного рівнянням (1.1.12), можна записати потенціал (1.1.14). Знаючи хід потенціалу, із закону збереження енергії (1.1.13) можна відразу знайти швидкість як функцію координати:
(1.7.9) 
,
тобто побудувати фазову траєкторію при даному значенні
W0. Варіюючи значення W0, можна отримати фазовий портрет системи.Прив’язати рух на фазовій площині до часу можна, скориставшись співвідношенням
. Тоді час, необхідний для переміщення з точки 1 у точку 2, визначатиметься співвідношенням:
(1.7.10) 
.
Приклад побудови фазового портрету для консервативного осцилятора з кубічною нелінійністю наведено на рис.1.7.1а-в.
|
|
|
|
|
|
|
Рис.1.7.1. Нелінійний осцилятор з потенціалом F (x)=x(x-1)2: а - хід потенціалу; б - фазовий портрет без дисипації; в - епюри коливань (1-2 відповідають фазовим траєкторіям на рис.1.7.1б, 3 - рухові вздовж петлі сепаратриси); г - фазовий портрет зі слабкою дисипацією |
|
Відзначимо, що мінімумам потенціальної енергії на фазовому портреті відповідають особливі точки типу центр, максимумам - сідлові точки. Апроксимуючи сепаратрису в околі сідлової точки відрізком прямої і інтегруючи за формулою (1.7.10), можна пересвідчитися, що час, необхідний для досягнення сідлової точки або для виходу з неї, є нескінченно великим. Таким чином, період руху вздовж петлі сепаратриси, що проходить через сідлову точку (рис.1.7.1б), буде нескінченим (див. криву 3 на рис.1.7.1в).
Для слабкодисипативного нелінійного осцилятора повна енергія з часом буде повільно зменшуватися. Це означає, що зображуюча точка буде поступово переходити на фазові траєкторії, що відповідають нижчим значенням повної енергії. Так можна якісно побудувати фазовий портрет слабкодисипативного нелінійного осцилятора (рис.1.7.1г). Зазначимо, що при цьому сідлові точки зберігають свій характер, а центри переходять у стійкі фокуси.
| [ Назад ] | [ Зміст ] | [ Вперед ] |
а
в
б
г