У системах з багатьма ступенями вільності (визначення кількості ступенів вільності див. у п.В2), на відміну від систем з одним та півтора ступенями вільності, з’являються принципово нові ефекти, пов’язані з обміном енергією між ступенями вільності. Для появи цих ефектів потрібно щонайменше два ступеня вільності. Подальше зростання числа ступенів вільності нічого якісно нового не дає. Тому в цьому розділі розглядатимуться, як правило, саме системи з двома ступенями вільності.

 Прикладами систем з багатьма ступенями вільності можуть служити зв’язані фізичні або пружинні маятники (рис.2.1.1а-б), зв’язані коливні контури (рис.2.1.1в-г), двоатомні молекули (рис.2.1.1д-е), зв’язані акустичні резонатори (рис.2.1є) та ін.

 Найбільш загальним методом аналізу руху консервативних систем з багатьма ступенями вільності є метод рівнянь Лагранжа. Як відомо, ці рівняння мають вигляд

(2.1.1)         ,  

де - функція Лагранжа, U та T - відповідно потенціальна та кінетична енергія системи. Для лінійних систем з s ступенями вільності потенціальна та кінетична енергія записуються як квадратичні форми узагальнених координат та їхніх похідних за часом:

(2.1.2)        , .

Оскільки в рівняння руху входять лише суми коефіцієнтів вигляду та , вважатимемо надалі, що

(2.1.3)       , .   

і рівняння руху набувають вигляду:

(2.1.5)         

(2.1.6)         

Ліві частини рівнянь (2.1.6) - це рівняння лінійних консервативних (парціальних) осциляторів. У правих частинах стоять сили, що обумовлені наявністю зв’язку між осциляторами. Доданки з коефіцієнтами описують силовий, або ємнісний зв’язок, доданки з коефіцієнтами - відповідно інерційний, або індуктивний зв’язок.

 Система (2.1.5) є системою лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами, тому її розв’язок можна шукати в експоненційному вигляді:

(2.1.7)       , . 

Підстановка (2.1.7) перетворює систему (2.1.5) на систему двох лінійних однорідних алгебраїчних рівнянь щодо амплітуд А та В:

(2.1.8)        

(2.1.9)       .

(2.1.10)        , -  

парціальні частоти коливань, тобто частоти коливань змінної () при ();

(2.1.11)        ,  -  

відповідно “пружний” та “інерційний” коефіцієнти зв’язку. Тоді характеристичне рівняння (2.1.9) може бути подане у вигляді

(2.1.12)       .

З нього, як уже вказувалося, можна знайти власні частоти (частоти власних коливань) системи**:

(2.1.13)       ,  

                   .

 Підстановка частот (2.1.13) до системи (2.1.8) робить її рівняння (з урахуванням умови (2.1.9)) лінійно залежними. Залишаючи лише одне з рівнянь, можна знайти співвідношення між амплітудами А та В для кожної з власних частот - так звані коефіцієнти розподілу амплітуд ***:

(2.1.14)       .

(2.1.15)        ;   

                     .

 Коефіцієнти А_і в розв’язку (2.1.15) знаходяться з початкових умов. Візьмемо для прикладу такі початкові умови: при t = 0

(2.1.16)       , , , .

 Підставляючи (2.1.15) до (2.1.16), отримаємо неоднорідну систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо амплітуд А_і. Її розв’язання дає:

(2.1.17)       ; .   

(2.1.18)       ;

                     .   

 Епюри коливань подані на рис.2.1.2. Видно, що коливання кожної із змінних являють собою биття з періодом , причому для двох змінних ці биття протифазні. Отже, між парціальними осциляторами має місце обмін енергією.

 Повернемося до початкової системи рівнянь (2.1.5). Введемо нові координати u та v, що пов’язані зі старими координатами q_1,2 співвідношеннями

(2.1.19)       , .  

(2.1.20)       ;  .  

Іншими словами, в нових координатах маємо рівняння руху двох ізольованих лінійних консервативних осциляторів із власними частотами (2.1.13).

 Коливання зміннихu та v можна збуджувати незалежно.

 Змінні u та v називають нормальними координатами, w₀₁ та w₀₂ іноді називають нормальними частотами. Коливання вигляду та називаються нормальними коливаннями, або нормальними модами системи. В “старих” координатах кожна з нормальних мод характеризується своєю частотою та коефіцієнтом розподілу амплітуд (“формою” коливань).

 Можна показати, що будь-які вільні коливання системи можна подати як суперпозицію її нормальних мод.

 Поняття нормальних мод узагальнюється на системи з довільною кількістю ступенів вільності, а також на системи з розподіленими параметрами.

 Нехай в аналізованій системі між осциляторами існує лише один тип зв’язку - наприклад, ємнісний. Тоді формула (2.1.13) для власних частот набуває вигляду:

(2.1.21)       .

Зокрема, якщо осцилятори ідентичні, то , і отримаємо

(2.1.22)       .    

 Для консервативної системи коефіцієнти розподілу амплітуд - дійсні величини. Можна показати, що їхній добуток завжди від’ємний. Це означає, що одній із власних частот відповідають синфазні коливання координат , а іншій - протифазні.

 Розглянемо систему двох коливних контурів з ємнісним зв’язком (рис.2.1.1в). Будемо вважати, що вплив другого контуру на перший зводиться до зміни ефективного значення ємності зв’язку С₁₂. Якщо коливання в контурах синфазні, струми через ємність зв’язку будуть зустрічними. В результаті заряд на цій ємності зменшиться. Це відповідає ефективному зменшенню ємності зв’язку, а, отже, і повної ємності контуру, тобто збільшенню його власної частоти. Аналогічні міркування показують, що для протифазних коливань власна частота контуру зменшиться. Пряма підстановка (2.1.21) до (2.1.11) дає той самий результат - вищій власній частоті відповідає синфазна мода, нижчій - протифазна. Якщо контури ідентичні, то з урахуванням (2.1.22) дістанемо:

(2.1.23)        ,  .  

 При як завгодно слабкий зв’язок між осциляторами призводитиме до обміну енергією між ними (лише період цього обміну зростатиме). При слабкий зв’язок, навпаки, практично не впливатиме на поведінку системи. Тому ступінь взаємодії осциляторів, обумовлену зв’язком, характеризуватиме не просто коефіцієнт зв’язку, а так звана зв’язаність системи -

(2.1.24)       ,