описуються рівняннями вигляду (2.1.5) із правими частинами:
Для лінійної консервативної системи з двома ступенями вільності коливання під дією зовнішніх сил описуються рівняннями вигляду (2.1.5) із правими частинами:
(2.2.1) 
Для лінійних систем справедливий принцип суперпозиції, тобто довільні зовнішні сили можна розкласти в ряд або в інтеграл Фур’є (див. п.1.3.2). Отже, достатньо проаналізувати випадок гармонічних зовнішніх сил. Обмежимося також знаходженням чисто вимушених коливань.
2.2.2. Особливості резонансних кривих.Розглянемо спочатку випадок, коли
(2.2.2) 
, 
.
Розв’язок (2.2.1) шукаємо у вигляді
(2.2.3) 
, 
.
Підставивши (2.2.2)-(2.2.3) до (2.2.1), отримаємо:
(2.2.4) 
звідки
(2.2.5) 
; 
,
де
(2.2.6) 
.
Типовий вигляд залежностей амплітуд A1 та B1 від частоти зовнішньої сили р, тобто резонансних кривих, подано на рис.2.2.1. Зупинимося на деяких їхніх особливостях.
По-перше, вигляд правих частин рівнянь системи (2.2.4) збігається з рівняннями системи (2.1.8), а отже, її головний визначник (2.2.6) з точністю до позначень збігається з характеристичним рівнянням (2.1.12) і перетворюється в нуль, коли частота зовнішньої сили р збігається з однією з власних частот системи (2.1.13), що відповідає резонансу. При цьому амплітуди коливань (2.2.6) необмежено зростають.
По-друге, амплітуда вимушених коливань першого осцилятора 
перетворюється в нуль, коли частота зовнішньої сили збігається з парціальною частотою другого осцилятора. Цей ефект називається динамічним демпфіруванням. Щоб пояснити його, перепишемо систему (2.2.1) з урахуванням (2.2.2) у формі
|
|
|
|
Рис.2.2.1. Залежності амплітуд вимушених коливань першого (а) та другого (б) осциляторів від частоти зовнішньої сили. |
|
(2.2.7) 
Як видно з першого рівняння системи (2.2.7), на перший осцилятор діє зовнішня сила
та сила з боку другого осцилятора, рівна 
, амплітуда та фаза якої залежать від частоти р. На частоті 
ці дві сили компенсують одна одну.
По-третє, амплітуда вимушених коливань другого осцилятора
перетворюється в нуль на частоті
(2.2.8) 
.
Як видно з другого рівняння системи (2.2.7), на другий осцилятор з боку першого діють дві протифазні сили, обумовлені відповідно індуктивним та ємнісним зв’язком. Перша з цих сил залежить від частоти р, друга - не залежить. Їхня компенсація відбувається якраз на частоті (2.2.8). Таким чином, можна говорити про ефект компенсації індуктивного та ємнісного зв’язку. Звичайно, цей ефект має місце лише для тих систем, в яких обидва названі типи зв’язку присутні одночасно.
2.2.3. Теорема взаємності.Нехай тепер
(2.2.9) 
, 
.
Тоді для амплітуд вимушених коливань змінних
можна отримати:
(2.2.10) 
; 
.
Таким чином,
(2.2.11) 
.
Співвідношення (2.2.11) носить назву теореми взаємності. Вона може бути сформульована таким чином: якщо зовнішня сила діє на перший осцилятор, то амплітуда коливань другого осцилятора буде такою самою, як амплітуда коливань першого осцилятора, коли та сама сила діятиме на другий.
Теорема взаємності узагальнюється на системи з довільним числом ступенів вільності, а також на системи з розподіленими параметрами. З неї випливає, зокрема, що діаграми спрямованості антени на передачу та приймання сигналу є однаковими.
2.2.4. Ортогональність зовнішніх сил до нормальних мод.Нехай, нарешті,
(2.2.12)
, 
.
В силу принципу суперпозиції амплітуди коливань у цьому випадку можна записати як суму амплітуд (2.2.5) та (2.2.10):
(2.2.13) Як випливає з (2.2.13), за одночасної дії зовнішніх сил на обидва осцилятори в принципі можлива ситуація, коли на власних частотах системи (при 
; 
.
або при 
) резонансного зростання амплітуди коливань не буде. Для цього необхідно виконати умову
(2.2.14) 
(див.(2.1.14)), де А, В - амплітуди вільних коливань (2.1.7).
Перепишемо умову (2.2.14) у формі
(2.2.15) 
.
Її можна назвати умовою ортогональності зовнішніх сил до нормальних мод системи.
Щоб зрозуміти зміст умови (2.2.15), розглянемо систему двох зв’язаних пружинних маятників, зображену на рис.2.1б. Нехай маятники ідентичні (
, 
). Зрозуміло, що в цьому випадку нормальними модами системи будуть синфазні (з однаковими амплітудами) коливання з частотою
(2.2.16) 
(при таких коливаннях довжина пружини
залишається незмінною) та протифазні (також з однаковими амплітудами) коливання з частотою
(2.2.17) 
(при таких коливаннях середня точка пружини
залишається нерухомою). Для синфазної моди умова (2.2.15)) означає, що зовнішні сили, що діють одночасно на обидва маятники, мають бути однаковими за амплітудою і протифазними. Зрозуміло, що в цьому випадку робота зовнішніх сил над системою в середньому за період коливань буде рівна нулеві, і резонанс не спостерігатиметься. Те саме буде, коли на частоті протифазної моди на систему діють синфазні сили з однаковими амплітудами.
| [ Назад ] | [ Зміст ] | [ Вперед ] |
