2.3. Коливання параметричних систем з багатьма ступенями вільності.

Як уже відзначалося (п.п.1.5-1.6), параметричні генератори мають обмежену практичну цінність, оскільки для їхньої роботи потрібне високочастотне накачування. В той же час параметричні підсилювачі є дуже привабливими за рахунок низького рівня власних шумів, однак одноконтурним схемам притаманний недолік - залежність коефіцієнту підсилення від фази вхідного сигналу та пульсації коефіцієнту підсилення. Цього недоліку позбавлена двоконтурна схема, до аналізу якої ми й перейдемо.

2.3.1. Схема двоконтурного параметричного підсилювача та рівняння, що її описують.

 Схема двоконтурного параметричного підсилювача (без джерела накачування варікапа) подана на рис.2.3.1. Вважатимемо, що ємність змінюється з часом за законом

(2.3.1)       .   

Для контурів зі струмами запишемо рівняння за другим законом Кірхгофа:

                 ;

(2.3.2)       ;  

                 .

 

 

 

 

 

Рис.2.3.1. Схема двоконтурного параметричного підсилювача.

Позначимо

(2.3.3)        ,   -

падіння напруги на ємностях контурів. Із останнього рівняння системи (2.3.2) випливає, що

(2.3.4)       .  

 Вважатимемо ємність варікапа значно меншою від контурних ємностей,

(2.3.5)       .     

Тоді

(2.3.6)       ,   

і (2.3.4) з урахуванням (2.3.6) можна переписати у формі

(2.3.7)       .    

 В результаті система (2.2.17) з урахуванням (2.3.1), (2.3.4) та (2.3.7) набуває вигляду

(2.3.8)       ;

                 .

 Введемо позначення:

(2.3.9)       ; ; .  

 Врахування малих доданків, пропорційних до , приводить до невеликого зсуву власних частот та появи слабкого зв’язку між контурами. Нехтуючи цими ефектами, перепишемо (2.3.8) з урахуванням (2.3.9) у формі:

(2.3.10)       ;

                   .

 Будемо вважати контури високодобротними,

(2.3.11)       ,     

а їхні смуги пропускання - такими, що не перекриваються:

(2.3.12)       .    

 Напругу, що подається на вхід підсилювача, вважатимемо гармонічною:

(2.3.13)       ,    

а її частоту - близькою до парціальної (а в силу зроблених припущень - власної) частоти першого контуру, такою, що потрапляє в смугу пропускання:

(2.3.14)        , .  

2.3.2. Регенеративний підсилювач з високочастотним накачуванням.

 Нехай частота накачування задовольняє умові

(2.3.15)            

(випадок високочастотного накачування). Тоді холоста частота (різницева частота, що виникне в результаті взаємодії сигналу та накачування на нелінійному елементі - варікапі),

(2.3.16)            

буде близькою до частоти другого контуру:

(2.3.17)       ,  .  

 В силу умов (2.3.11), (2.3.12), (2.3.14) та (2.3.17) будемо шукати розв’язки для напруг у формі

(2.3.18)       ,  

(пор. з п.1.6). Підставляючи (2.3.13) та (2.3.18) до системи (2.3.10), нехтуючи доданками другого і більш високих порядків мализни і залишаючи в першому рівнянні лише доданки з частотою w, а в другому - з частотою wХ, отримаємо систему лінійних алгебраїчних рівнянь щодо амплітуд А та В:

(2.3.19)       ;  

                    .

                 

 Розв’язуючи (2.3.19), можна отримати:

(2.3.20)        ; . 

У випадку точного резонансу (D =0) отримаємо:

(2.3.21)       ;  ,     

де

(2.3.22)       .     

 Як випливає з (2.3.21), самозбудження схеми відбудеться при

(2.3.23)       ,     

або, з урахуванням (2.3.9), при

(2.3.24)       .   

 Залежності амплітуд (2.3.21) від т подані на рис.2.3.2.

 

 

 

Рис.2.3.2. Амплітуди сигналів у першому та другому контурах у режимі точного резонансу в схемі двоконтурного параметричного підсилювача з високочастотним накачуванням

 Повернемося до аналізу загального випадку (2.3.20). Щоб знайти коефіцієнт підсилення та форму смуги пропускання, вважатимемо, що ми працюємо біля порогу генерації, тобто при

(2.3.25)          

(пор. п.1.6). Будемо цікавитись малими розстроюваннями,

(2.3.26)       .     

Тоді для амплітуд А та В можна записати:

(2.3.27)       ;  , 

де

(2.3.28)       .     

  Як випливає з (2.3.27), смуга пропускання підсилювача складає , а максимальний коефіцієнт підсилення - (на частоті сигналу) та ( на холостій частоті).

 У розглянутій схемі підсилення сигнальної та холостої частот відбувається в окремих контурах, смуги пропускання яких не перекриваються (див. умову (2.3.12)). Це означає, що, на відміну від одноконтурної схеми, биття між сигнальною та холостою частотами, що призводили до появи пульсацій коефіцієнту підсилення, тепер не виникатимуть.

 Як і в одноконтурній схемі, в розглянутому випадку маємо справу з регенеративним механізмом підсилення, про що свідчить можливість самозбудження схеми (за виконання умови (2.3.24)).

2.3.3. Нерегенеративний перетворювач частоти з низькочастотним накачуванням.

 Нехай тепер частота накачування задовольняє умові

(2.3.29)            

Виконуючи розрахунки, аналогічні до наведених у п.2.3.2, отримаємо:

(2.3.30)       ; . 

У випадку точного резонансу (D =0) отримаємо:

(2.3.31)       ;  .      

Графік залежностей амплітуд коливань від глибини модуляції параметричної ємності поданий на рис.2.3.3.

 

 

Рис.2.3.3. Амплітуди сигналів у першому та другому контурах у режимі точного резонансу в схемі двоконтурного параметричного підсилювача з низькочастотним накачуванням.

 Як випливає з (2.3.31), в аналізованому випадку самозбудження неможливе. Амплітуда коливань на сигнальній частоті монотонно спадає із зростанням глибини модуляції, амплітуда коливань на холостій частоті досягає максимуму при (2.3.24).

 Таким чином, коли ми знімаємо сигнал на холостій частоті, дана схема виступає в ролі перетворювача частоти (остання зростає на величину частоти накачування). Така схема має дуже низький рівень власних шумів.

2.3.4. Співвідношення Менлі - Роу.

 Розглянемо ідеалізовану схему перетворювача частот на нелінійному реактивному елементі, подану на рис.2.3.4. В ролі нелінійного елемента виступає нелінійна ємність. Схема містить також джерела гармонічних сигналів з частотами та і фільтри, настроєні на частоти , та деяку комбінаційну частоту

(2.3.32)       ,    

де - деякі цілі числа (). Через наявність фільтрів кола для частот , замикається через відповідні генератори та нелінійну ємність, а для комбінаційної частоти - через нелінійну ємність та резистор.

 

Рис.2.3.4. Ідеалізована схема перетворювача частот на нелінійному елементі.

 Вважатимемо фільтри чисто реактивними елементами. Тоді потужність в аналізованій схемі виділяється на частотах та , а поглинається - на частоті .

 Будемо вважати потужність , що поглинається на активному опорі, додатною, а потужності та , що виділяються генераторами, від’ємними. Тоді баланс потужності може бути записаний у вигляді:

(2.3.33)       .    

Помножимо кожний з доданків у (2.3.33) на одиницю:

,

або

(2.3.34)       .

 Менлі та Роу на основі чисто електротехнічних розрахунків показали, що кожна дужка в (2.3.34) окремо дорівнює нулеві:

(2.3.35)       ;  .

Рівняння (2.3.35) дістали в літературі назву співвідношень Менлі - Роу. Вони виражають баланс енергії при неленійному перетворенні частоти і дають можливість інтерпретувати названий процес в термінах числа квантів.

 Розглянемо перше із співвідношень (2.3.35). Перший доданок в лівій частині - це величина, пропорційна до числа квантів частоти , що виділяються відповідним генератором за одиницю часу. Відповідно величина пропорційна до числа квантів комбінаційної частоти, що поглинаються за одиницю часу на активному опорі. На створення одного кванту комбінаційної частоти витрачається т квантів частоти . Таким чином, аналізоване співвідношення виражає баланс квантів частоти в аналізованій схемі. Друге співвідношення відповідно виражає баланс квантів частоти .

 Співвідношення Менлі - Роу легко узагальнюються на довільну кількість комбінаційних частот, що поглинаються одночасно. Вони можуть бути записані і для консервативних систем, в тому числі з розподіленими параметрами.

 Розглянемо два окремі випадки співвідношень Менлі - Роу.

а) Нехай m = n =1. Дістанемо з (2.3.35):

(2.3.36)       ; . 

Оскільки , то і , тобто обидва генератори віддають потужність. Як видно з (2.3.36), потужність від генераторів відбирається пропорційно до їхніх частот. Це дає можливість інтерпретувати процес утворення комбінаційної частоти як злиття квантів (рис.2.3.5а).

 Зрозуміло, що для протікання такого процесу принципово необхідні обидва джерела (з частотами w1 та w2), тому самозбудження (тобто протікання процесу за наявності лише одного джерела квантів) в такій ситуації принципово неможливе.

а

б

Рис.2.3.5. Схеми злиття (а) та розпаду (б) квантів.

б) Нехай тепер , та . Тоді з (2.3.35) можна отримати:

(2.3.37)       ; .

Як бачимо, тепер вся енергія відбирається від генератора високої частоти. Генератор низької частоти виступає в ролі активного опору, тобто поглинає енергію. Таким чином, маємо розпад високочастотного кванту на два низькочастотних (рис.2.3.5б). Зрозуміло, що генератор низької частоти в даному випадку можна замінити звичайним опором.

 Очевидно, випадок (б) аналогічний до регенеративного параметричного підсилювача з високочастотним накачуванням (п.2.3.2), а випадок (а) - до нерегенеративного параметричного підсилювача з низькочастотним накачуванням (п.2.3.3). Раніше розглянутий одноконтурний параметричний генератор (п.1.5) відповідає розпаду кванту накачування на два однакових кванти.

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]