та 
, пов’язані ємністю зв’язку С. Перший з контурів індуктивно зв’язаний з колом виток - затвір польового транзистора (або катодно-сітковим колом електронної лампи). Через цей самий контур протікає стоковий струм лампи.
Ми бачили (п.1.12), що дія зовнішньої сили на автогенератор може призвести до зриву автоколивань у ньому (ефект вимушеної синхронізації). В реальних експериментах джерелом зовнішньої сили виступає деякий інший генератор, який, у свою чергу, як правило, піддається впливу першого. Так виникає задача про взаємодію двох автогенераторів, або, що те саме, двочастотний (в загальному випадку - багаточастотний) автогенератор. Виявляється, що в такому автогенераторі може мати місце конкуренція мод за джерело живлення, що приводить або до співіснування мод, або до придушення одних мод іншими.
2.4.1. Схема двочастотного автогенератора. Схему двочастотного автогенератора подано на рис.2.4.1. Паралельні коливні контури та , пов’язані ємністю зв’язку С. Перший з контурів індуктивно зв’язаний з колом виток - затвір польового транзистора (або катодно-сітковим колом електронної лампи). Через цей самий контур протікає стоковий струм лампи.
Контури розташовані асиметрично щодо точки увімкнення стоку польового транзистора. Справді, симетричне увімкнення (до ємності С) у цьому випадку неможливе, оскільки буде відсутнє живлення транзистора.
2.4.2. Вихідні рівняння.Рівняння, що описують роботу аналізованої схеми, можна записати у формі:
(2.4.1) 
;
;
.
Перше з них виражає рівність струмів, що протікають через усі гілки коливних контурів, повному наскрізному струму - струму стоку. Друге та третє рівняння виражають, по суті, другий закон Кірхгофа для контурів
та 
(у правих частинах під інтегралами стоять струми через ємності 
та 
).
|
Рис.2.4.1. Схема двочастотного автогенератора. |
|
Диференціюючи за часом перше з рівнянь (2.4.1) один раз, а друге й третє - двічі, отримаємо:
;
(2.4.2) 
;
.
Виключивши за допомогою першого рівняння змінну
,
(2.4.3) 
,
можна отримати:
(2.4.4) 
;
.
Введемо позначення:
(2.4.5) 
, 
, 
, 
- відповідно еквівалентні ємності, парціальні частоти та параметри згасання коливних контурів. Тоді система (2.4.4) набере вигляду:
(2.4.6) 
;
.
Ліві частини рівнянь системи (2.4.6) симетричні. Асиметрія правих частин обумовлена асиметрією увімкнення провідника із стоковим струмом до системи зв’язаних контурів (рис.2.4.1): вказаний провідник увімкнений у перший контур, а не в середню точку між двома контурами (між конденсаторами
та ).
Щоб звести систему (2.4.6) до одного рівняння, подіємо на перше з рівнянь оператором
,
а на друге - оператором
,
а потім віднімемо друге рівняння від першого. Отримаємо:
(2.4.7) 
де
(2.4.8) 
- коефіцієнт ємнісного зв’язку між контурами.
Рівняння (2.4.7) необхідно доповнити формулами для стік-затвірної характеристики
(2.4.9) 
(пор. (1.142)) та для затвірної напруги
(2.4.10) 
.
Позначивши
, 
,
можна замість (2.4.9)-(2.4.10) записати:
(2.4.11) 
.
Підставляючи (2.4.11) до (2.4.7), отримаємо:
(2.4.12) 
Рівняння (2.4.12) дозволяє описати процеси в аналізованій схемі.
2.4.3. Виведення вкорочених рівнянь. Нехай спочатку 
, 
. Тоді рівняння (2.4.12) істотно спрощується:
(2.4.13) 
Рівняння (2.4.13) - лінійне з постійними коефіцієнтами та похідними за часом лише парних порядків. Отже, воно описує чисто гармонічні коливання зв’язаних контурів (за відсутності живлення та дисипації - пор. п.2.1). Власні частоти вказаних коливань будуть
(2.4.14) 
(пор.(2.1.21)).
Вважатимемо тепер параметри
величинами першого порядку мализни. Тоді рівняння (2.4.12) відрізнятиметься від (2.4.13) лише малими доданками, і, отже, його можна розв’язувати за методом повільно змінюваних амплітуд:
(2.4.15) 
+к.с.,
, 
.
Похідні від (2.4.15) з точністю до першого порядку мализни мають вигляд:
(2.4.16) 
+к.с.;
+к.с.;
+к.с.;
+к.с.
Кубічний доданок після відкидання кратних та комбінаційних частот набуває вигляду:
(2.4.17) 
к.с.
Підставивши (2.4.15)-(2.4.17) до (2.4.12), відкинемо доданки другого та більш високих порядків мализни і врахуємо явний вигляд власних частот (2.4.14), що приведе до зникнення доданків нульового порядку мализни. Тоді, прирівнявши в обох частинах рівняння амплітуди однакових експонент, можна отримати такі вкорочені рівняння:
(2.4.18) 
Введемо позначення:
(2.4.19) 
;
.
Тоді систему (2.4.18) можна переписати у формі:
(2.4.20) 
;
.
Зручніше працювати не з амплітудами, а з інтенсивностями мод. Помножимо перше рівняння (2.4.20) на 
, а потім додамо рівняння, комплексно спряжене до щойно отриманого. Проробимо аналогічну процедуру і з другим рівнянням (2.4.20). В результаті дістанемо:
(2.4.21) 
;
.
Введемо позначення:
(2.4.22) 
; 
; 
; 
.
Величини m1,2 являють собою нормовані інтенсивності коливань з частотами 
. Величини 
називаються коефіцієнтами нелінійного зв’язку між модами.
Остаточно отримуємо:
(2.4.23) 
;
.
За виконання умов
(2.4.24) 
коефіцієнти h1,2 (інкременти інтенсивності малих коливань) та a1,2 виходять додатними. Це означає, що для обох мод виконано амплітудну умову самозбудження. При цьому величини m1,2 та , зрозуміло, теж будуть додатними.
Як випливає з (2.4.22), для аналізованої схеми
(2.4.25) 
.
Слід вказати, що рівняння (2.4.23) значно більш загальні, ніж модель двочастотного автогенератора, для якої вони отримані. Такий самий вигляд матимуть, наприклад, рівняння для двох зв’язаних автогенераторів (зрозуміло, що умова (2.4.25) при цьому вже не буде виконуватися). Система рівнянь такого самого типу описує конкуренцію мод у лазері чи мазері (при цьому кількість мод може бути довільною), а також інших автоколивних системах із розподіленими параметрами (мазерах на циклотронному резонансі, ланцюжках діодів Гана чи лавинопролітних діодів та ін.). Такий самий вигляд матиме система рівнянь для кількості осіб у популяціях, що конкурують за обмежене джерело харчування ( наприклад, зайці та олені в лісі із скінченою швидкістю росту рослин). Нарешті, подібні ж рівняння можуть, очевидно, описувати конкуренцію виробників за ринки збуту в економіці.
За відсутності нелінійного зв’язку між модами (
) кожне з рівнянь (2.4.23) нагадує вкорочене рівняння для автогенератора Ван дер Поля (див. (1.154)): воно описує зростання амплітуди від рівня малих коливань і її наступне встановлення на рівні 
(рис.1.32). Навпаки, за наявності такого зв’язку (
, 
) поведінка кожної з мод визначається не тільки інтенсивністю її коливань, але й інтенсивністю коливань іншої моди. Якщо, наприклад, 
, але , перша мода не зазнаватиме впливу другої, але сама впливатиме на неї.
2.4.5. Стаціонарні стани та їхня стійкість.
В стаціонарному стані (d/dt=0) система (2.4.23) набуває вигляду:
(2.4.26) 
; 
.
Набір її розв’язків має вигляд:
(2.4.27) 
;
(2.4.28) 
, 
;
(2.4.29) 
, 
;
(2.4.30) 
, 
.
Оскільки за змістом задачі
, останній розв’язок може існувати лише при виконанні однієї з умов
(2.4.31) 
або
(2.4.32) 
Для схеми, зображеної на рис.2.4.1, умова (2.4.31) не може бути виконана (див. (2.4.25)). Але для інших систем, описуваних рівняннями (2.4.23), вона може справджуватись, так само як і умова (2.4.32).
Щоб дослідити стаціонарні розв’язки (2.
4.27) - (2.4.30) на стійкість, підставимо до (2.4.23) розв’язок у вигляді суми стаціонарного розв’язку та малої змінної складової:(2.4.33) 
, 
.
Після лінеаризації система зводиться до одного лінійного рівняння другого порядку
(2.4.34) 
умови стійкості якого мають вигляд
(2.4.35) 
Підставляючи до (2.4.35) розв’язки (2.
4.27) - (2.4.30), можна переконатися в тому, що:
та при 
(стійкі вузли), в протилежному випадку отримуємо сідлові точки;
(стійкий вузол), в протилежному випадку отримуємо сідлову точку.
Таким чином, у площині (
) можна виділити чотири характерні області, показані на рис.2.4.2: область сильного взаємного зв’язку (, 
), області сильного невзаємного зв’язку (
, та , 
) та область слабкого взаємного зв’язку (, ). Остання область для схеми, зображеної на рис.2.4.1, є недосяжною в силу умови (2.4.25), але цілком може реалізуватися для інших систем, які відповідають рівнянням (2.4.23).
2.4.6. Фазові портрети.
Поділивши перше рівняння (2.4.23) на друге, отримаємо рівняння для фазових траєкторій в координатах (
). Відповідні фазові портрети для режимів І-ІV подано на рис.2.4.3.
|
Рис.2.4.2. Області сильного взаємного (І), сильного невзаємного (ІІ, ІІІ) та слабкого взаємного (І V) зв’язку в площині (r 12, r 21); штрихова лінія відповідає умові r 12r 21=4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
Рис.2.4.3. Фазові портрети конкуренції мод для випадків сильного взаємного (а - режим І), сильного невзаємного (б, в - режими ІІ та ІІІ) та слабкого взаємного (г - режим І V) зв’язку. |
|
Видно, що у випадку сильного невзаємного зв’язку (рис.2.4.3б,в) незалежно від початкових умов у автогенераторі встановлюється лише одна мода - та, яка може ефективно придушувати іншу, не зазнаючи помітного впливу з її боку. Саме цей режим відповідає, очевидно, раніше розглянутому випадку вимушеної синхронізації автогенератора заданою зовнішньою силою (п.1.12).
У випадку екологічних систем режим сильного невзаємного зв’язку реалізувався, наприклад, в Австралії, коли туди були завезені лебеді. У водоймах вони мали змогу добувати корм з більшої глибини, ніж місцеві породи качок, тому поступово витіснили їх.
У випадку сильного взаємного зв’язку (рис.2.4.3а) також встановлюється лише одна мода. Яка саме - залежить від початкових умов: виживає та мода, яка більша в початковий момент часу. Цей режим нагадує тригер, який має два рівноправні положення рівноваги. При увімкненні живлення тригер встановлюється в одне з них залежно від флуктуацій струмів та напруг у початковий момент часу.
Нарешті, у випадку слабкого взаємного зв’язку взаємний вплив мод є малим, тому обидві моди співіснують. В цьому режимі, очевидно, матимуть місце биття між автоколиваннями різних частот (пор. з виходом за межі смуги синхронізації для слабких зовнішніх сил, п.1.12).
У випадку екологічних систем режиму слабкого взаємного зв’язку відповідає, наприклад, співіснування в лісі білок, що харчуються шишками й горіхами, та зайців, що їдять зелень і пагони.
2.4.7. Затягування частоти в двочастотному автогенераторі.На завершення розглянемо іще один ефект, притаманний саме схемі двочастотного автогенератора - так зване затягування частоти. В основі цього явища лежить той факт, що в режимі сильного взаємного зв’язку та чи інша мода встановлюється в залежності від початкових умов.
Будемо перестроювати контури автогенератора (наприклад, шляхом зміни ємності С’ або C’’), змінюючи тим самим параметр 
. Це, в свою чергу, призведе до зміни коефіцієнтів нелінійного зв’язку 
та 
, причому в силу співвідношення (2.4.25) при збільшенні одного з коефіцієнтів інший буде зменшуватися (рис.2.4.4а). Це відповідатиме рухові вздовж штрихової лінії на рис.2.4.2. В результаті будуть по черзі реалізовуватися різні режими - ІІ, І, ІІІ.
|
|
|
|
Рис.2.4.4: а - залежність коефіцієнтів нелінійного зв’язку від відношення квадратів парціальних частот; б - залежність власних частот від відношення квадратів парціальних частот та ефект гістерезису при перестроюванні автогенератора. |
|
Нехай у початковий момент часу
, що відповідає режиму ІІ (рис.2.4.4а). Тоді в автогенераторі встановляться коливання на частоті 
. Будемо перестроювати контури так, щоб параметр 
зростав. При переході через значення 
встановиться режим І. Оскільки в цей момент в генераторі існували коливання на частоті , вони збережуться. Лише при переході через значення 
, коли в системі встановиться режим ІІІ, частота коливань стрибком зміниться на 
(рис.2.4.4б). Зрозуміло, що при зменшенні від початкового значення 
стрибкоподібна зміна частоти відбудеться при переході через точку . Таким чином, в області 
матиме місце гістерезис, або так зване затягування частоти. Цей ефект з практичної точки зору є вкрай небажаним. Аналіз показує, що для його зменшення слід використовувати слабкий зворотний зв’язок в автогенераторі або зменшувати добротність другого контуру.
| [ Назад ] | [ Зміст ] | [ Вперед ] |
а
б
в
г
а
б