Розглянемо динамічну систему, що описується рівняннями (В.1), або у векторній формі

(2.5.1)       , , .

Розв’язок рівняння (2.5.1) залежить від часу та початкових умов: .

Введемо оператор F^t, який перетворює точку у точку :

(2.5.2)       .     

Він називається оператором потоку.

 Дія оператора потоку перетворює область фазового простору W (деяку фазову краплю) в область W _t:

(2.5.3)       .     

 Оскільки гамільтонівські системи за визначенням (п.1.10) є консервативними, для них зберігається повна енергія. Це означає, що всі фазові траєкторії гамільтонівської системи для даного значення повної енергії Е лежатимуть на гіперповерхні

(2.5.4)       .   

, .

Перша з цих умов визначає в п-вимірному фазовому просторі п/2-вимірну гіперповерхню тора. Фазові траєкторії являють собою спіралі, намотані на поверхню тора. Ці спіралі замкнені, якщо існує набір цілих чисел k₁ такий, що

(2.5.5)       ,    

(2.5.6)       ,     

де позначено . Говорять, що в гамільтонівських системах об’єм фазової краплі в процесі її еволюції зберігається. Крім того, зберігається й топологія вказаної краплі: наприклад, однозв’язна область з часом такою і залишатиметься.

 Нехай рух гамільтонівської системи є фінітним. Це означає, що її фазові траєкторії знаходяться в деякій обмеженій за об’ємом області D фазового простору. Нехай

(2.5.7)       .     

 Нехай - деякий розв’язок системи (2.5.1). Розглянемо деяку довільну функцію , аргумент якої змінюється з часом уздовж фазової траєкторії . Введемо середнє за часом від цієї функції:

(2.5.8)       .   

В загальному випадку середнє за часом повинно залежати від початкових умов .

 Введемо також середнє за фазовим об’ємом D від тієї самої функції:

(2.5.9)       .    

 Рух системи називається ергодичним, якщо для довільної інтегровної функції та майже для всіх початкових умов виконується рівність:

(2.5.10)       .     

 Ергодичність системи означає, що майже будь-яка фазова траєкторія всюди щільно заповнює всю область фазового простору D, у якій відбувається еволюція системи. Саме ця обставина і забезпечує рівність середніх величин, взятих уздовж фазової траєкторії та по області D. В результаті середнє вздовж фазової траєкторії перестає залежати від початкових умов.

 Хаотична динаміка гамільтонівських систем описується за допомогою поняття перемішування.

 Введемо міру області W фазового простору, що належить до області D, в якій відбувається рух системи:

(2.5.11)       ,  .  

Отже, міра області - це просто відношення її фазового об’єму до фазового об’єму області D.

 Нехай В - деяка нерухома частина області D, а W _t - деяка інша частина цієї області, що еволюціонує з часом під дією оператора потоку (див. (2.5.3)). Позначимо через множину точок, які є спільними для областей В та W _t.

(2.5.12)       .   

Іншими словами, з часом область W_t еволюціонує так, що її частини рівномірно заповнюють усю область D:

.

 Оскільки об’єм області W з часом має зберігатися, її еволюція нагадує ріст кореня рослини у вазоні, причому відгалуження кореня з часом заповнюють весь об’єм вазона, але їхня товщина з часом зменшується (рис.2.5.2).

- абсолютна нестійкість системи. Справді, з часом точки, що належали довільно обраній початковій області W , опиняються в різних кінцях області D, тобто віддаль між сусідніми точками зростає;

- ергодичність системи. Оскільки будь-яка мала частина області W _t може розглядатись як нова область W , то кожна фазова траєкторія буде щільно заповнювати всю область D;

- необоротність еволюції системи. Неможливо, щоб з часом усі точки області W , що розповзлися по всій області D, знову зібралися в компактний об’єм;

 Оскільки в гамільтонівських системах об’єм фазової краплі зберігається, то в гамільтонівських системах з перемішуванням розтягання фазового об’єму в одних напрямках, як уже вказувалося, супроводжується його стисненням в інших. В результаті в кожній точці фазового простору можна виділити стійкі напрямки, вздовж яких сусідні точки притягаються, та нестійкі напрямки, вздовж яких сусідні точки розбігаються. Якщо віддалі між точками значно менші від характерних розмірів області D, обидва процеси мають експоненційний характер:

(2.5.13)       ,   

де , - проекція вектора на напрямок і. Коефіцієнти називаються показниками Ляпунова. Для стійких напрямків вони додатні, для нестійких - від’ємні. В силу теореми Ліувілля сума всіх показників Ляпунова для гамільтонівської системи дорівнює нулеві:

(2.5.14)       .     

 Сума всіх додатних показників Ляпунова, усереднена по області D, називається ентропією Колмогорова - Синая (КС- ентропією):

(2.5.15)       ,     

а обернена величина - часом перемішування:

(2.5.16)       .     

 Для проміжків часу поведінка системи може вважатися цілком передбачуваною - нестійкість ще не встигає розвинутись. Навпаки, для проміжків часу поведінка системи виявляється непередбачуваною.

 Таким чином, КС-ентропія є кількісною мірою хаотичності руху системи.

 Відзначимо, що для періодичного руху h = 0.

 На практиці виміряти КС-ентропію дуже складно. Це можна зробити лише в деяких числових експериментах. Тому звичайно хаотичність руху системи найпростіше визначити за її спектром. Зрозуміло, що для хаотичного руху він буде неперервним, а для періодичного чи квазіперіодичного - дискретним.

 Слід вказати, що на практиці визначення хаотичної динаміки за цією ознакою ускладнюється наявністю шумів, що мають неперервний спектр. Крім того, хаотичний рух практично неможливо відрізнити від періодичного, якщо період останнього складає величину, більшу від часу спостереження.