2.6. Хаос у дисипативних системах із багатьма ступенями вільності.

2.6.1. Прості атрактори.

 Для дисипативних систем теорема Ліувіля вже не справджується, і об’єм фазової краплі з часом змінюється. Він може як зростати, так і зменшуватися, але в середньому з часом він зменшується. В результаті при всі зображуючі точки опиняються на деякій підмножині фазового простору з нульовою мірою, яка називається атрактором. Точніше кажучи, атрактор - це деяка підмножина В фазового простору, що задовольняє таким умовам:

- вона інваріантна щодо дії оператора потоку, ;

- існує деякий окіл U, що стискається до В під дією оператора потоку;

- множину В не можна розбити на дві інваріантні підмножини, що не перетинаються.

 Прикладами атракторів на фазовій площині можуть бути стаціонарні точки (стійкий фокус, стійкий вузол) та стійкі граничні цикли.

 Відзначимо, що вже в тривимірному фазовому просторі можуть існувати стаціонарні точки, що є комбінаціями стійкого та нестійкого типів (рис.2.6.1).

 У фазовому просторі з розмірністю вище трьох, крім стаціонарних точок та граничних циклів, з’являється ще один різновид атракторів - двовимірні інваріантні тори, що відповідають автоколиванням з двома некратними частотами.

 Всі згадані типи атракторів називають простими атракторами.

2.6.2. Дивні атрактори.

 Крім простих атракторів, у фазовому просторі можуть існувати ще так звані дивні атрактори, які не є ні стаціонарними точками, ні граничними циклами, ні інваріантними торами. Вони поєднують стійкість із нестійкістю. Зображуючі точки з часом притягаються до дивного атрактора, але на самому атракторі сусідні зображуючі точки з часом розбігаються, тобто має місце нестійкість (щось схоже має місце для стаціонарних точок типу сідло-фокус та сідло-вузол, рис.2.6.1). Поведінка фазових траєкторій на дивному атракторі аналогічна до поведінки гамільтонівських систем з перемішуванням, їй відповідає стохастична динаміка системи. Зокрема, на дивному атракторі можна визначити КС-ентропію та час перемішування.

а

б

в

г

Рис.2.6.1. Особливі точки типу сідло-вузол (а, б) та сідло-фокус (в, г) у тривимірному фазовому просторі.

 Крім того, дивні атрактори мають надзвичайно складну геометричну структуру: вони належать до фракталів і характеризуються нецілою геометричною розмірністю.

 Прикладом дивного атрактора може служити фазовий портрет генератора КПР у режимі стохастичних коливань (рис.1.46в).

 Із викладеного вище зрозуміло, що дивні атрактори можуть існувати лише в таких дисипативних системах, які є або відкритими (до яких надходить енергія ззовні), або нерівноважними (які мають великий запас внутрішньої енергії). В протилежному випадку коливання в дисипативній системі з часом мають згасати.

2.6.3. Фрактали.

 Щоб зрозуміти особливості геометричної будови дивних атракторів, розглянемо простий приклад фракталу - так звану множину двох третин, що належить до класу канторівських множин. Візьмемо відрізок одиничної довжини. Розіб’ємо його на три рівні частини. Середню відкинемо. Кожен з відрізків, що залишилися, також розіб’ємо на три рівні частини, середню з яких відкинемо. Продовжуватимемо цю операцію нескінчено довго. Те, що ми отримаємо, і являтиме собою множину двох третин (рис.2.6.2).

 

 

 

Рис.2.6.2. Схема побудови множини

двох третин.

 По-перше, відзначимо, що при збільшенні масштабу зображення такої множини ми будемо помічати все більш тонкі деталі її структури, але при постійній зміні масштабу, наприклад, утричі характер картинки залишатиметься незмінним. Ця властивість притаманна всім фракталам і носить назву масштабної інваріантності.

 По-друге, підрахуємо загальну довжину відкинутих частин відрізка:

.

Ми бачимо, що формально сумарна довжина частин відрізку, що залишилися, дорівнює нулеві. Це вже не відрізок, але й не просто сукупність точок.

Покажемо, що розмірність множини двох третин є нецілим числом. Для цього введемо поняття фрактальної (хаусдорфової) розмірності.

Розглянемо деяку множину А в п-вимірному просторі. Покриємо цю множину п-вимірними кубами зі стороною e . Нехай N - мінімально необхідна для цього кількість таких кубів. Тоді величина

(2.6.1)           

називається фрактальною, або хаусдорфовою розмірністю множини А.

 Нехай А - відрізок довжиною L. Тоді , і

,

тобто для звичайних фігур фрактальна розмірність збігається з геометричною.

 Для множини двох третин на k-му кроці

, , .

 Таким чином, неціла геометрична розмірність - друга, поруч із масштабною інваріантністю, характерна властивість фракталів.

 Як уже вказувалося, за геометричною структурою дивні атрактори також належать до фракталів.

2.6.4. Сценарії переходу до хаосу.

 Під сценарієм переходу до хаосу розуміють послідовність біфуркацій при зміні деякого керуючого параметра , що призводить до встановлення в системі хаотичного руху.

 Нехай при на фазовому портреті існує стійка стаціонарна точка (стійкий фокус або вузол). Спільним першим кроком усіх сценаріїв переходу до хаосу є те, що при зростанні відбувається біфуркація Андронова - Хопфа (див. п.1.11) - система втрачає рівновагу, відбувається її самозбудження. Подальші біфуркації визначаються конкретним сценарієм.

 Слід вказати, що в реальних системах звичайно існує декілька керуючих параметрів, тому до того самого стану хаотичного руху можна прийти різними шляхами. Отже, поняття сценарію переходу до хаосу має до певної міри умовний характер. Тим не менше воно досить поширене в літературі.

 На сьогоднішній день, як можна думати, відомі ще не всі можливі сценарії переходу до хаосу. Нижче ми зупинимося на трьох найбільш вивчених і поширених.

2.6.5. Сценарій Рюеля - Такенса.

 Після біфуркації Андронова - Хопфа відбувається збудження коливань із ще одною частотою (як це може мати місце у системі зв’язаних автогенераторів, п.2.4), потім - іще з одною. У фазовому просторі утворюється відповідно спочатку двовимірний, а потім тривимірний тор. Але, як показали Рюель і Такенс, таке утворення є нестійким, і зображуюча точка спонтанно перестрибує на дивний атрактор - рух системи стає хаотичним.

 Ілюстрацією до описаного сценарію може служити спостереження так званих вихорів Тейлора в рідині, що налита між двома циліндрами, один з яких обертається (рис.2.6.3). В ролі керуючого параметра виступає швидкість обертання w . При її зростанні спочатку виникають вихори з однією частотою, яку фіксує датчик, занурений у рідину. При подальшому зростанні w з’являється друга частота автоколивань, потім третя, після чого система сама собою переходить у стан турбулентності.

 

 

 

 

Рис.2.6.3. Схема спостереження вихорів Тейлора.

2.6.6. Сценарій Фейгенбаума.

 У цьому сценарії після біфуркації Андронова - Хопфа при деякому значенні керуючого параметра відбувається подвоєння періоду коливань (рис.2.6.4), при більшому значенні - наступне подвоєння періоду, і так далі. Послідовність збігається до деякого значення , при переході через яке період коливань формально стає нескінченно великим, а рух системи - відповідно хаотичним.

 

Рис.2.6.4. Послідовне подвоєння періодів у фазовому просторі.

 Явище універсальності Фейгенбаума полягає в тому, що незалежно від конкретного типу динамічної системи, для якої відбувається перехід до хаосу за даним сценарієм, швидкість збігання послідовності виявляється тією самою:

(2.6.2)       ,    

де - константа Фейгенбаума.

 Приклад переходу до хаосу за сценарієм Фейгенбаума демонструє, зокрема, так звана система Реслера - модель деякої хімічної реакції коливного типу. Спектр цієї реакції для різних значень керуючого параметра подано на рис.2.6.5. Видно, що при зростанні вказаного параметра віддаль між сусідніми гармоніками в спектрі послідовно зменшується вдвічі.

а

б

в

г

Рис.2.6.5. Спектр системи Реслера при послідовному зростанні керуючого параметра.

2.6.7. Сценарій Помо - Манервіля.

 Після біфуркації Андронова - Хопфа зростання керуючого параметра призводить до того, що автоколивання стають уривчастими: ділянки регулярних коливань перериваються сплесками хаотичного руху (явище переміжності). При подальшому зростанні керуючого параметра тривалість регулярних ділянок зменшується.

 Прикладом системи, що демонструє перехід до хаосу за сценарієм Помо - Манервіля, може служити генератор шуму КПР (див. п.1.13).

[ Назад ] [ Зміст ] [ Вперед ]